Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Een bestuurster die met 90 km/h rijdt, ziet een obstakel. Haar reactietijd is 0,5 s, waarna de auto remt met een constante vertraging van 5,5 m/s². Vind de totale stopafstand d vanaf het moment dat ze het obstakel ziet.
Bal A wordt vanuit rust losgelaten op een hoogte van 20 m. Op hetzelfde moment wordt bal B recht eronder vanaf de grond recht omhoog gegooid met 11 m/s. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Op welke hoogte y boven de grond ontmoeten ze elkaar?
Een blok van 19 kg glijdt een wrijvingsloze helling af die 25° met de horizontaal maakt. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het blok langs de helling.
Een blok krijgt een duw, zodat het met een snelheid van 3,5 m/s een helling onder 30° op begint te glijden. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,1. Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe ver d glijdt het langs de helling voordat het stopt?
Een bal wordt onder 30° boven de horizontaal vanaf vlak terrein weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de horizontale afstand x die de bal aflegt voordat hij de grond raakt.
Een bal wordt onder 20° boven de horizontaal vanaf de top van een 50 m hoge klif weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de horizontale afstand x die de bal aflegt voordat hij de grond raakt.
Een auto van 800 kg rijdt met 12 m/s over de top van een bult in de weg. De top van de bult is een cirkelboog met straal 20 m. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de normaalkracht N van de weg op de auto bovenaan.
Een bal van 0,3 kg aan een touw van 1,5 m wordt rondgeslingerd in een verticale cirkel. In het laagste punt beweegt hij met 8,5 m/s. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw in het laagste punt.
Een auto die met 60 km/h over een horizontale weg rijdt, remt hard en slipt met geblokkeerde wielen tot stilstand. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,4. Vind de remweg d.
Een blok van 8 kg ligt op een ruwe horizontale tafel (μ = 0,2). Een licht touw loopt ervan over een gladde katrol aan de rand van de tafel naar een hangend blok van 2 kg. Het systeem wordt vanuit rust losgelaten. Vind de snelheid v van de blokken nadat het hangende blok 2 m is gezakt.
Een karretje van 3,5 kg dat met 2 m/s rijdt, botst volkomen elastisch en frontaal op een stilstaand karretje van 2,5 kg op een wrijvingsloze baan. Bereken de snelheid v′2 van het tweede karretje na de botsing.
Op een kruispunt botst een auto van 900 kg die met 10 m/s naar het oosten rijdt op een auto van 2000 kg die met 16 m/s naar het noorden rijdt. De auto’s haken in elkaar. Vind de snelheid v′ van het wrak direct na de botsing.
Een homogene slanke staaf met massa 5 kg en lengte 2 m is aan één uiteinde scharnierend bevestigd en wordt horizontaal vastgehouden. Hij wordt vanuit rust losgelaten. Gebruik g = 9,81 m/s². Bepaal zijn hoekversnelling α vlak na het loslaten.
Een homogene slanke staaf met massa 6 kg en lengte 1,2 m hangt in rust aan een wrijvingsloos draaipunt aan zijn bovenuiteinde. Een kogel van 35 g die horizontaal met 240 m/s beweegt, raakt de staaf 0,88 m onder het draaipunt en blijft erin zitten. Gebruik g = 9,81 m/s². Bepaal de grootste hoek φ met de verticaal waarover de staaf uitzwaait.
Een motor van 4 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel met 18 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 50 tanden. Verwaarloos verliezen. Bereken het koppel T1 op de motoras.
Een motor van 3 kW met 960 rpm drijft tandwiel A (25 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (48 tanden). Tandwiel C (24 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (80 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 98%. Vind het uitgaande koppel Tout.
Hoe lang moet een mathematische slinger zijn om een slingertijd van 1,7 s te hebben? Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken L.
Een kogel van 20 g die met 450 m/s beweegt, treft een blok van 2,5 kg dat op een wrijvingsloos oppervlak ligt en blijft erin steken. Het blok is bevestigd aan een horizontale veer met k = 1200 N/m. Vind de amplitude A van de trilling die ontstaat, in cm.
Een massa van 50 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 50 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 630 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.
Een massa van 5 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 60 kN/m en k₂ = 50 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Antwoord: d = 69,32 m
Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.
Antwoord: y = 3,785 m
Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.
Omhoog is positief, de grond is y = 0.
Antwoord: a = 4,146 m/s²
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Langs de helling omlaag is positief.
Antwoord: d = 1,064 m
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Beide krachten wijzen de helling af; de massa valt weg.
Antwoord: x = 12,71 m
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Start en landing op dezelfde hoogte: t = 2vy/g.
Antwoord: x = 124,2 m
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Los y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 op voor de positieve wortel.
Antwoord: N = 2088 N
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Naar het middelpunt (omlaag) is positief.
De auto voelt lichter: de weg duwt minder hard omhoog dan zijn gewicht.
Antwoord: T = 17,39 N
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Naar het middelpunt (omhoog) is positief.
Antwoord: d = 35,39 m
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Een twee keer zo hoge snelheid maakt de remweg vier keer zo lang.
Antwoord: v = 1,253 m/s
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Antwoord: v′2 = 2,333 m/s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Behoud van impuls en energie samen oplossen geeft deze twee resultaten.
Antwoord: v′ = 11,46 m/s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Antwoord: α = 7,357 rad/s²
Rotatie om een vaste as: de som van de momenten om de as is gelijk aan I·α (ΣM = I·α), net zoals ΣF = m·a bij translatie. In energievorm verricht een koppel T dat over een hoek θ (in radialen) draait arbeid T·θ, wat de kinetische energie ½·I·ω² verandert; de zwaartekracht voegt m·g·Δh van het zwaartepunt toe of haalt dat weg. Het vermogen is P = T·ω.
Op het moment van loslaten is ω = 0, dus er is geen middelpuntzoekende versnelling en het midden versnelt recht naar beneden.
Antwoord: φ = 42,6 °
Rollen en impulsmoment: een lichaam dat zonder slip rolt, heeft v = ω·r, dus zijn kinetische energie is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Langs een helling geeft dat a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Als er geen extern moment om een as werkt, blijft het impulsmoment om die as constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, ook als er kinetische energie verloren gaat.
De kracht in het draaipunt gaat door het draaipunt, dus ze heeft er tijdens de botsing geen moment.
Antwoord: T1 = 13,17 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Antwoord: Tout = 183,4 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Antwoord: L = 0,7181 m
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: A = 16,37 cm
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: ζ = 0,1992
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.
Antwoord: fn = 23,61 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics