Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Een vliegtuig heeft 260 km/h nodig om op te stijgen en de bruikbare startbaan is 1700 m lang. Welke constante versnelling a heeft het vanuit stilstand nodig?
Bal A wordt vanuit rust losgelaten op een hoogte van 20 m. Op hetzelfde moment wordt bal B recht eronder vanaf de grond recht omhoog gegooid met 20 m/s. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Op welke hoogte y boven de grond ontmoeten ze elkaar?
Een blok van 16 kg glijdt een wrijvingsloze helling af die 35° met de horizontaal maakt. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het blok langs de helling.
Een blok van 3 kg op een horizontale tafel is via een licht touw over een wrijvingsloze katrol verbonden met een hangende massa van 2,5 kg. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen blok en tafel is 0,3. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw.
Een bal wordt vanaf vlakke grond gelanceerd onder 15° boven de horizontaal en landt 10 m verderop. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de beginsnelheid v0.
Een bal wordt onder 50° boven de horizontaal vanaf de top van een 5 m hoge klif weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de vliegtijd t tot de bal de grond raakt.
Een auto neemt een vlakke bocht met een straal van 50 m. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,5. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de hoogste snelheid vmax waarmee de auto de bocht kan nemen zonder te slippen.
Een bocht met straal 110 m heeft een verkanting van 18°, en de statische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,15. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de hoogste snelheid vmax waarmee een auto de bocht kan nemen zonder naar boven en naar buiten te glijden.
Een blok van 2,5 kg glijdt 11 m een helling af onder 20° met de horizontaal, met een kinetische wrijvingscoëfficiënt van 0,25. Vind de arbeid Wf tegen de wrijving.
Een karretje van 10 kg wordt vanuit rust losgelaten op een hoogte van 6,4 m op een gladde baan die uitkomt in een verticale looping met straal 2 m. Vind de normaalkracht N die de baan bovenaan de looping op het karretje uitoefent.
Een karretje van 1,5 kg dat met 7 m/s rijdt, botst volkomen elastisch en frontaal op een stilstaand karretje van 4 kg op een wrijvingsloze baan. Bereken de snelheid v′2 van het tweede karretje na de botsing.
Een bal van 0,15 kg raakt een muur met 26 m/s en kaatst recht terug met 19 m/s. Het contact duurt 10 ms. Bereken de grootte van de stoot J die de muur aan de bal geeft.
Een homogene slanke staaf met massa 3,5 kg en lengte 2,6 m is aan één uiteinde scharnierend bevestigd en wordt horizontaal vastgehouden. Hij wordt vanuit rust losgelaten. Gebruik g = 9,81 m/s². Bepaal de verticale kracht R die het scharnier vlak na het loslaten op de staaf uitoefent.
Een holle bol met massa 13 kg rolt zonder slip met 4,5 m/s. Welk percentage p van zijn totale kinetische energie is rotatie-energie?
Een schijf van 120 mm met 720 rpm drijft via een riem met 2 % slip een schijf van 450 mm aan. Bepaal het toerental n2 van de aangedreven schijf.
In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 20 tanden en elk planeetwiel 20 tanden. De planeetdrager wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 900 rpm. Vind het toerental nr van het ringwiel (grootte).
Een mathematische slinger heeft een lengte van 0,2 m. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de slingertijd T bij kleine uitwijkingen.
Een kogel van 10 g die met 500 m/s beweegt, treft een blok van 1 kg dat op een wrijvingsloos oppervlak ligt en blijft erin steken. Het blok is bevestigd aan een horizontale veer met k = 200 N/m. Vind de amplitude A van de trilling die ontstaat, in cm.
Een massa van 50 kg aan een veer met een stijfheid van 50 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,3 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
Een massa van 40 kg hangt aan veer k₃ = 100 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 20 kN/m en k₂ = 5 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Antwoord: a = 1,534 m/s²
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Antwoord: y = 15,09 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Omhoog is positief, de grond is y = 0.
Antwoord: a = 5,627 m/s²
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Langs de helling omlaag is positief.
Antwoord: T = 17,39 N
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Antwoord: v0 = 14,01 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Antwoord: t = 4,446 s
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Los y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 op voor de positieve wortel.
Antwoord: vmax = 15,66 m/s
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Antwoord: vmax = 23,21 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
De wrijving wijst de helling af.
Antwoord: Wf = 63,38 J
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Antwoord: N = 137,3 N
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d). Op een cirkelbaan moet de nettokracht naar het middelpunt gelijk zijn aan mv²/r.
Het karretje komt er net rond als h = 2,5R; dan is N = 0 bovenaan.
Antwoord: v′2 = 3,818 m/s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Behoud van impuls en energie samen oplossen geeft deze twee resultaten.
Antwoord: J = 6,75 N·s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Antwoord: R = 8,584 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Op het moment van loslaten is ω = 0, dus er is geen middelpuntzoekende versnelling en het midden versnelt recht naar beneden.
R = m·g/4, onafhankelijk van de lengte.
Antwoord: p = 40 %
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Het aandeel hangt alleen van de vorm af, niet van de massa of de snelheid.
Antwoord: n2 = 188,2 rpm
Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.
Antwoord: nr = 300 rpm
Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.
Met nc = 0 drijft het zonnewiel het ringwiel aan via de planeetwielen, die als tussenwielen werken.
Het ringwiel draait tegengesteld aan het zonnewiel.
Antwoord: T = 0,8971 s
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: A = 35,18 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwoord: fd = 4,801 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwoord: fn = 3,559 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics