Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Een auto die te hard rijdt met een constante 31 m/s, passeert een stilstaande politieauto. Op dat moment vertrekt de politieauto en versnelt eenparig met 3 m/s². Hoe lang duurt het voordat de politieauto de auto inhaalt? Vind t.
Een bal wordt met 11 m/s recht omhoog gegooid vanaf de rand van een dak 25 m boven de grond. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de grootste hoogte hmax boven de grond.
Massa’s van 6,5 kg en 3 kg hangen aan weerszijden van een lichte, wrijvingsloze katrol, verbonden door een licht touw. Het systeem wordt vanuit rust losgelaten. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw.
Twee blokken op een horizontale vloer zijn verbonden door een licht horizontaal touw. Een horizontale kracht van 90 N trekt aan het voorste blok van 11 kg; het blok van 10 kg wordt erachter meegesleept. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is voor beide blokken 0,3. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de versnelling a van de blokken.
Een bal wordt vanaf vlakke grond gelanceerd met 36 m/s en moet 60 m verderop landen. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de kleinste van de twee mogelijke elevatiehoeken θ.
Een bal wordt onder 25° boven de horizontaal vanaf de top van een 40 m hoge klif weggeschoten. Verwaarloos luchtweerstand. Vind de horizontale afstand x die de bal aflegt voordat hij de grond raakt.
Een auto neemt een vlakke bocht met een straal van 130 m. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,4. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de hoogste snelheid vmax waarmee de auto de bocht kan nemen zonder te slippen.
Een bal van 1,7 kg aan een touw van 0,7 m wordt rondgeslingerd in een verticale cirkel. In het laagste punt beweegt hij met 5 m/s. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw in het laagste punt.
Een blok van 2,5 kg glijdt 4 m een helling af onder 30° met de horizontaal, met een kinetische wrijvingscoëfficiënt van 0,3. Vind de arbeid Wf tegen de wrijving.
Een blok van 0,5 kg wordt vanuit rust losgelaten op hoogte 5 m op een gladde helling. Onderaan steekt het een ruwe horizontale strook van 1,5 m over (μ = 0,3) en loopt daarna tegen een veer (k = 2500 N/m) op een glad oppervlak. Vind de maximale indrukking x van de veer.
Een projectiel van 4 kg dat horizontaal met 30 m/s beweegt, explodeert in twee brokstukken die langs dezelfde lijn bewegen. Het brokstuk van 3 kg gaat met 89 m/s vooruit. Vind de snelheid v′2 van het brokstuk van 1 kg (positief in de oorspronkelijke richting).
Een kogel van 10 g wordt horizontaal afgevuurd in een blok van 2 kg dat aan lichte touwtjes van 1,7 m lang hangt, en blijft erin steken. De touwtjes zwaaien uit tot een grootste hoek van 10° met de verticaal. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de snelheid v van de kogel vóór de inslag.
Een vliegwiel met een traagheidsmoment van 35 kg·m² draait met 2600 rpm. Een rem oefent een constant wrijvingskoppel van 70 N·m uit. Hoeveel omwentelingen N maakt het vliegwiel voordat het stilstaat?
Een holle bol begint vanuit rust en rolt zonder slip van een helling die 25° met het horizontale vlak maakt. Gebruik g = 9,81 m/s². Bepaal zijn snelheid v nadat hij 5,5 m langs de helling is gerold.
Een schijf van 200 mm met 720 rpm drijft via een riem met 3 % slip een schijf van 315 mm aan. Bepaal het toerental n2 van de aangedreven schijf.
Een open riem verbindt een schijf van 200 mm en een schijf van 450 mm waarvan de hartafstand 600 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.
Een massa van 2,1 kg aan een veer met k = 130 N/m trilt op een wrijvingsloos oppervlak met een amplitude van 16 cm. Vind de snelheid v als de massa 4 cm van de evenwichtsstand is.
Een voorwerp voert een harmonische trilling uit met trillingstijd 3,6 s en amplitude 17 cm. Wat is de kortste tijd t die het nodig heeft om van zijn maximale uitwijking van 17 cm naar een uitwijking van 4,25 cm te gaan?
Een massa van 250 kg aan een veer met een stijfheid van 40 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,6 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.
Een massa van 40 kg hangt aan veer k₃ = 15 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 100 kN/m en k₂ = 60 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.
Antwoord: t = 20,67 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Op dat moment rijdt de politieauto met 2v = 62 m/s.
Antwoord: hmax = 31,17 m
Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.
Antwoord: T = 40,27 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
De netto aandrijvende kracht is het verschil van de gewichten; die beweegt de totale massa.
Antwoord: a = 1,343 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Antwoord: θ = 13,51 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
De andere oplossing is 90° − θ = 76,49°.
Antwoord: x = 150,3 m
Kogelbaan: zonder luchtweerstand geldt x = vxt en y = h + vyt − ½gt². De twee richtingen zijn onafhankelijk, behalve dat ze dezelfde tijd delen.
De horizontale snelheid blijft constant; de verticale beweging heeft een constante versnelling g = 9,81 m/s² omlaag.
Los y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 op voor de positieve wortel.
Antwoord: vmax = 22,59 m/s
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Antwoord: T = 77,39 N
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Naar het middelpunt (omhoog) is positief.
Antwoord: Wf = 25,49 J
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Antwoord: x = 13,36 cm
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
De helling is glad, dus alleen de strook neemt energie weg.
Antwoord: v′2 = −147 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Het minteken betekent dat het tweede brokstuk naar achteren vliegt.
Antwoord: v = 143,1 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Antwoord: N = 2950 rev
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Antwoord: v = 5,231 m/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Rollen zonder slip: ω = v/r, en wrijving verricht geen arbeid in het contactpunt.
Antwoord: n2 = 443,4 rpm
Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.
Antwoord: θ = 156 °
Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.
Antwoord: v = 1,219 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwoord: t = 0,7552 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwoord: fd = 1,611 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwoord: fn = 2,947 Hz
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Alleen k1 en k2 staan parallel. Dat paar staat in serie met k3, dus combineer ze via hun omgekeerde.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics