Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 20 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Een auto die met 80 km/h rijdt, remt met een constante vertraging van 5,5 m/s² tot hij stilstaat. Hoelang duurt het remmen? Bereken t.
Een tram vertrekt vanuit stilstand en versnelt 12 s lang met 2 m/s², rijdt daarna 23 s met constante snelheid en remt ten slotte af met 3,5 m/s² tot hij stilstaat. Vind de totale afstand s tussen de twee haltes.
Een blok van 15 kg glijdt een helling af die 25° met de horizontaal maakt. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,25. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de versnelling a van het blok langs de helling.
Een blok krijgt een duw, zodat het met een snelheid van 3,5 m/s een helling onder 20° op begint te glijden. De kinetische wrijvingscoëfficiënt is 0,25. Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe ver d glijdt het langs de helling voordat het stopt?
Een bal wordt vanaf vlakke grond gelanceerd met 38 m/s en moet 85 m verderop landen. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de kleinste van de twee mogelijke elevatiehoeken θ.
Een bal wordt gelanceerd met 19 m/s onder 55° boven de horizontaal vanaf de top van een klif van 55 m. Verwaarloos de luchtweerstand en gebruik g = 9,81 m/s². Vind de grootste hoogte H boven de grond aan de voet van de klif.
Een wegontwerper wil dat auto’s een bocht met straal 130 m met 40 km/h kunnen nemen zonder op wrijving te vertrouwen. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de verkantingshoek θ.
Een bal van 1,1 kg aan een touw van 0,9 m wordt rondgeslingerd in een verticale cirkel. In het laagste punt beweegt hij met 8,5 m/s. Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken de spankracht T in het touw in het laagste punt.
Een auto die met 50 km/h over een horizontale weg rijdt, remt hard en slipt met geblokkeerde wielen tot stilstand. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen banden en weg is 0,7. Vind de remweg d.
Een karretje van 1 kg wordt vanuit rust losgelaten op een hoogte van 4,5 m op een gladde baan die uitkomt in een verticale looping met straal 1,5 m. Vind de normaalkracht N die de baan bovenaan de looping op het karretje uitoefent.
Een karretje van 4 kg dat met 2 m/s rijdt, botst volkomen elastisch en frontaal op een stilstaand karretje van 4,5 kg op een wrijvingsloze baan. Bereken de snelheid v′2 van het tweede karretje na de botsing.
Een bal van 0,1 kg raakt een muur met 10 m/s en kaatst recht terug met 7 m/s. Het contact duurt 5 ms. Bereken de gemiddelde kracht Favg van de muur op de bal.
Een homogene slanke staaf met massa 4 kg en lengte 2,8 m is aan één uiteinde scharnierend bevestigd en wordt horizontaal vastgehouden. Hij wordt vanuit rust losgelaten. Gebruik g = 9,81 m/s². Bepaal zijn hoekversnelling α vlak na het loslaten.
Een dunne ring met massa 1 kg rolt zonder slip met 2,5 m/s. Bepaal zijn totale kinetische energie Ek.
Een motor van 0,75 kW die met 1440 rpm draait, drijft een rondsel met 12 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 30 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 98%. Bereken het uitgaande koppel T2 op de as van het tandwiel.
Een open riem verbindt een schijf van 100 mm en een schijf van 400 mm waarvan de hartafstand 1200 mm is. Bepaal de omspanningshoek θ op de kleinere schijf, in graden.
Hoe lang moet een mathematische slinger zijn om een slingertijd van 0,8 s te hebben? Gebruik g = 9,81 m/s². Bereken L.
Een massa van 3,7 kg aan een veer met k = 70 N/m wordt 16 cm uit de evenwichtsstand getrokken en losgelaten. Bereken de maximale snelheid vmax.
Een massa van 100 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 150 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 1160 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.
Een massa van 25 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 80 kN/m en k₂ = 40 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid keq van het verensysteem in kN/m.
Antwoord: t = 4,04 s
Beweging met constante versnelling: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² en v² = v₀² + 2·a·s. Kies de formule die de drie bekende grootheden en de gezochte grootheid bevat, en houd de tekens consequent bij één positieve richting.
Antwoord: s = 778,3 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Antwoord: a = 1,923 m/s²
Tweede wet van Newton: de resulterende kracht op een lichaam is gelijk aan de massa maal de versnelling, ΣF = m·a. Teken een vrijlichaamsschema, kies een positieve richting langs de beweging en tel alle krachten in die richting op: uitgeoefende krachten, de wrijving μ·N tegen de beweging in, en de componenten van de zwaartekracht.
Langs de helling omlaag is positief.
Antwoord: d = 1,082 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Beide krachten wijzen de helling af; de massa valt weg.
Antwoord: θ = 17,64 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
De andere oplossing is 90° − θ = 72,36°.
Antwoord: H = 67,35 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Antwoord: θ = 5,529 °
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Antwoord: T = 99,1 N
Eenparige cirkelbeweging: een voorwerp dat met snelheid v over een cirkel met straal r beweegt, versnelt naar het middelpunt met a = v²/r, dus het heeft een resulterende kracht naar binnen nodig: F = m·v²/r. Die kracht wordt geleverd door iets echts: wrijving, spankracht, zwaartekracht of een normaalkracht.
Naar het middelpunt (omhoog) is positief.
Antwoord: d = 14,05 m
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d).
Een twee keer zo hoge snelheid maakt de remweg vier keer zo lang.
Antwoord: N = 9,81 N
Arbeid-energiestelling: de verandering van kinetische energie is gelijk aan de arbeid van alle krachten. Door zwaartekracht en veren als potentiële energie te schrijven (mgh en ½kx²) wordt dit een balans: beginenergie = eindenergie + energie verloren aan wrijving (μN·d). Op een cirkelbaan moet de nettokracht naar het middelpunt gelijk zijn aan mv²/r.
Het karretje komt er net rond als h = 2,5R; dan is N = 0 bovenaan.
Antwoord: v′2 = 1,882 m/s
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Behoud van impuls en energie samen oplossen geeft deze twee resultaten.
Antwoord: Favg = 340 N
Behoud van impuls: als er tijdens een botsing geen externe kracht werkt, is de totale impuls Σm·v vóór de botsing gelijk aan die erna. Snelheden hebben een richting, dus kies een positieve richting en geef snelheden in de andere richting een minteken. Bij een elastische botsing blijft ook de kinetische energie behouden; bij een volkomen inelastische botsing blijven de lichamen aan elkaar vast zitten.
Antwoord: α = 5,255 rad/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Op het moment van loslaten is ω = 0, dus er is geen middelpuntzoekende versnelling en het midden versnelt recht naar beneden.
Antwoord: Ek = 6,25 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Antwoord: T2 = 12,19 N·m
Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.
Antwoord: θ = 165,6 °
Riemaandrijvingen: zonder slip hebben beide schijven dezelfde omtreksnelheid v = π·d·n/60, dus n₁·d₁ = n₂·d₂ en de overbrengingsverhouding is d₂/d₁. Slip s maakt de aangedreven schijf iets langzamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Het overgebrachte vermogen is P = (T₁ − T₂)·v, met T₁ de spanning in het trekkende deel en T₂ in het slappe deel. Wrijving beperkt de verhouding van de spanningen: T₁/T₂ = eμθ, waarbij θ de omspanningshoek in radialen op de kleinere schijf is; voor een open riem is θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) met hartafstand C.
Antwoord: L = 0,159 m
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: vmax = 0,6959 m/s
Harmonische trilling: een massa m aan een veer met veerconstante k trilt met hoekfrequentie ω = √(k/m) en trillingstijd T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Een mathematische slinger met lengte L heeft T = 2π·√(L/g). Bij amplitude A is de grootste snelheid A·ω, de grootste versnelling A·ω² en de energie ½·k·A².
Antwoord: ζ = 0,1498
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.
Antwoord: keq = 120 kN/m
Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics