Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Statistiek voor evidence-based practice
Sensitiviteit en specificiteit
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Voorspellende waarden
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Accuratesse
(a + d)/n
Likelihoodratio’s
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bij prevalentie p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
odds = p/(1 − p); p = odds/(1 + odds); natestodds = voortestodds × LR
Risicomaten
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, naar boven afgerond; NNH = 1/(EER − CER)
Odds ratio
OR = ad/(bc)
Incidentiedichtheid
nieuwe gevallen / persoonstijd
Methode
Teken de 2 × 2-tabel en benoem a, b, c en d voordat je rekent.
Lees sensitiviteit en specificiteit langs de kolommen, voorspellende waarden langs de rijen.
Stel je voor een andere prevalentie 10,000 mensen voor en vul de tabel met Se, Sp en de prevalentie.
Reken voor een likelihoodratio de kans om naar odds, vermenigvuldig en reken terug.
Bepaal bij een trial eerst EER en CER; dan RR = EER/CER, ARR = CER − EER en NNT = 1/ARR naar boven afgerond.
Beschrijvende statistiek
Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ
Betrouwbaarheidsintervallen
σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.
Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.
2Oefenopgaven
1.Statistiek voor evidence-based practiceGemiddeld
Oefenopgave (verzonnen waarden, geen klinisch advies). In een gerandomiseerde studie kregen 240 patiënten een nieuwe behandeling en 580 de controlebehandeling. De tabel toont hoeveel patiënten in elke groep een bijwerking hadden. Bepaal het number needed to harm NNH: hoeveel patiënten moeten worden behandeld om één extra patiënt de bijwerking te laten krijgen? Rond naar boven af op een geheel aantal patiënten.
behandeling: 58/240controle: 70/580
NNH =
2.Statistiek voor evidence-based practiceMoeilijk
Oefenopgave (verzonnen waarden, geen klinisch advies). Een screeningstest heeft een sensitiviteit van 77% en een specificiteit van 97%. Hij wordt gebruikt in een populatie met een prevalentie van 5%. Bepaal de negatief voorspellende waarde NPV als percentage. Rond af op één decimaal.
Se = 77%Sp = 97%p = 5%
NPV = %
3.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 12, 31, 41, 32, 23.
n = 5
s =
4.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt onder 72,5?
μ = 50σ = 15x = 72,5
P =
5.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 100 telefoons, gemiddelde 43 h, bekende standaardafwijking 15 h. Model 2: 100 telefoons, gemiddelde 28,5 h, bekende standaardafwijking 19 h. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De diameters van 15 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 0,9 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 14 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 5,629 en 2,5% boven 26,119.
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 250 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 40. Een aselecte steekproef van 100 waarnemingen heeft een gemiddelde van 256,64. Toets H₀: μ = 250 tegen H₁: μ ≠ 250. Bereken de p-waarde p.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 80 tegen H₁: μ < 80 wordt uitgevoerd bij α = 0.10 met een steekproef van 25; de standaardafwijking is bekend en is 10. In werkelijkheid is het gemiddelde 74.8. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.
μ₀ = 80μ = 74,8σ = 10n = 25α = 0,10
1 − β = %
3Oplossingen
1.Statistiek voor evidence-based practice
Antwoord: NNH = 9
Likelihoodratio’s en risicomaten: LR+ = sensitiviteit/(1 − specificiteit), LR− = (1 − sensitiviteit)/specificiteit. In een trial zijn EER en CER de gebeurtenisfrequenties met en zonder behandeling: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER en NNT = 1/ARR, naar boven afgerond. In een patiënt-controleonderzoek kan alleen de odds ratio OR = ad/(bc) worden gebruikt. Een incidentiedichtheid = nieuwe gevallen/persoonstijd.
Gebeurtenisfrequenties
EER = 58/240 = 0,2417
CER = 70/580 = 0,1207
Number needed to harm
ARI = 0,2417 − 0,1207 = 0,121
NNH = 1/0,121 = 8,266 → 9
Antwoord
NNH = 9
Ongeveer één op elke 9 behandelde patiënten krijgt de bijwerking door de behandeling.
2.Statistiek voor evidence-based practice
Antwoord: NPV = 98,8 %
Voorspellende waarden hangen af van de prevalentie: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) en NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Met likelihoodratio’s: voortestodds = p/(1 − p), natestodds = voortestodds × LR, kans = odds/(1 + odds). Voor een populatie van N is het aantal terecht positieven = N·p·Se en het aantal onterecht positieven = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), naar boven afgerond.
Terecht en onterecht negatieven (per persoon)
Sp·(1 − p) = 0,97·0,95 = 0,9215
(1 − Se)·p = 0,23·0,05 = 0,0115
Negatief voorspellende waarde
NPV = 0,9215/(0,9215 + 0,0115) = 0,9877 ≈ 98,8%
Antwoord
NPV = 98,8%
3.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 10,89
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
5.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 20,74 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 43 − 28,5 = 14,5
Standaardfout
SE = √(15²/100 + 19²/100) = 2,421
Foutmarge
E = 2,576·2,421 = 6,236
Interval
14,5 ± 6,236 → [8,264, 20,74]
Antwoord
bovengrens = 20,74 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
6.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 1,419 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 14·0,9² = 11,34
Grenzen voor σ²
11,34/26,119 = 0,4342
11,34/5,629 = 2,015
Grens voor σ
σ = √2,015 = 1,419 µm
Antwoord
σ = 1,419 µm
95%-interval voor σ: [0,6589, 1,419] µm.
7.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,09691
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (256,64 − 250)/4 = 1,66
Staartoppervlakte
Φ(1,66) = 0,9515
1 − Φ(1,66) = 0,0485
p-waarde
p = 2·0,0485 = 0,09691
Antwoord
p = 0,09691
p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.
8.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: 1 − β = 90,62 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).