Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Stromingsleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 2 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met olie, met de bovenrand 2 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 75 mm naar 50 mm. In het brede deel is de druk 400 kPa en de snelheid 0,75 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 400 kPav1 = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Water stroomt omhoog door een leiding die versmalt van 75 mm naar 50 mm en daarbij 10 m stijgt. In doorsnede 1 is de druk 250 kPa en de snelheid 2,5 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in doorsnede 2.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 250 kPav1 = 2,5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met 60 L/s door een leiding van 100 m lang met een binnendiameter van 150 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,028 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 150 m lang met een binnendiameter van 300 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,022. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 12 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 5) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.
Δz = 12 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Een pomp met een rendement van 78% levert 100 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 68 m. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het benodigde asvermogen Pshaft, in kW.
Q = 100 L/sH = 68 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 75 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 27 m hoger ligt. De leiding is 500 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². De bovenste tank is gesloten en de lucht boven het water staat op een overdruk van 400 kPa. Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Q = 75 L/sΔz = 27 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8ptank = 400 kPa
H = m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 176,6 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN
Antwoord
F = 176,6 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: ycp = 2,818 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,75·2,25 = 53,42 kN
Drukpunt
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Ic = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,75 + 0,4219/(2,75·2,25) = 2,818 m
Antwoord
ycp = 2,818 m
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 398,9 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(75/50)² = 1,688 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 400 + (−1,143) = 398,9 kPa
Antwoord
p2 = 398,9 kPa
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 139,2 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,5·(75/50)² = 5,625 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,5² − 5,625²)/1000 = −12,7 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 250 + (−12,7) − 98,1 = 139,2 kPa
Antwoord
p2 = 139,2 kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 10,97 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Gemiddelde snelheid
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 3,395²/(2·9,81) = 0,5876 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,15)·3,395²/(2·9,81) = 10,97 m
Antwoord
hf = 10,97 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Q = 250,8 L/s
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,022·150/0,3 = 11
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Energievergelijking
Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.
12 = (11 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·12/18,7) = 3,548 m/s
Debiet
Q = V·π·D²/4 = 3,548·0,07069 = 0,2508 m³/s = 250,8 L/s
Antwoord
Q = 250,8 L/s
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pshaft = 85,52 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·68 = 66,71 kW
Asvermogen
Pshaft = Ph/η = 66,71/0,78 = 85,52 kW
Antwoord
Pshaft = 85,52 kW
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: H = 83,17 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 8)·0,2905 = 15,4 m
Drukhoogte
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m
Opvoerhoogte van de pomp
Beide oppervlakken zijn praktisch in rust, dus er is geen term voor de snelheidshoogte.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 27 + 40,77 + 15,4 = 83,17 m
Antwoord
H = 83,17 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics