Stromingsleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Hydrostatische kracht

Druk op diepte: p = ρgh
Kracht op een verticale wand: F = ρg·h_c·A
Drukpunt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechthoek: I_c = bH³/12

Continuïteit en Bernoulli

Continuïteit: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Debiet: Q = A·v
Oppervlakte van een cirkel: A = πd²/4

Leidingwrijving en drukhoogteverlies

Getal van Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Stromingsregime: laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
Gemiddelde snelheid: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Plaatselijke verliezen: h_m = ΣK·V²/(2g)
Gangbare K-waarden: intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
Drukval: Δp = ρ·g·h_f
Twee open reservoirs: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Vrije uitstroming: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompen en pompvermogen

Hydraulisch vermogen: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Asvermogen: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrisch vermogen: P_el = P_shaft/η_motor
Opvoerhoogte van de pomp: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Systeemverliezen: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Oefenopgaven

1.Hydrostatische krachtGemiddeld

Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 2,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische krachtMoeilijk

Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met olie, met de bovenrand 3 m onder het oppervlak. Vind de diepte y_cp van het drukpunt onder het oppervlak.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld

Water stroomt met 23 L/s door een horizontale leiding die versmalt van 200 mm naar 100 mm. De druk in het smalle deel is 90 kPa. Vind, zonder verliezen, de druk p₁ in het brede deel.

Q = 23 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 90 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk

Water stroomt omhoog door een leiding die versmalt van 100 mm naar 75 mm en daarbij 7 m stijgt. In doorsnede 1 is de druk 400 kPa en de snelheid 2,75 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p₂ in doorsnede 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 400 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld

Water (ρ = 1000 kg/m³) stroomt met 1,9 m/s door een horizontale leiding van 500 m lang met een binnendiameter van 50 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018 en g = 9,81 m/s². Vind de drukval Δp over de leiding in kPa.

V = 1,9 m/sL = 500 mD = 50 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk

Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 200 m lang met een binnendiameter van 250 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 13 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 2 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 2) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.

Δz = 13 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompen en pompvermogenGemiddeld

Een pomp levert 80 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 72 m. Het pomprendement is 72% en de elektromotor die de pomp aandrijft heeft een rendement van 95%. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het elektrisch vermogen P_el dat de motor opneemt, in kW.

Q = 80 L/sH = 72 mη_pump = 72%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompen en pompvermogenMoeilijk

Een pomp verplaatst 20 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 7 m hoger ligt. De leiding is 200 m lang met een binnendiameter van 150 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.

Q = 20 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

3Oplossingen

1.Hydrostatische kracht

Antwoord: F = 275,9 kN

Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·y_c·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.

Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Resulterende kracht

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·7,5 = 275,9 kN

Antwoord

F = 275,9 kN

2.Hydrostatische kracht

Antwoord: y_cp = 3,8 m

Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·y_c·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.

Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Resulterende kracht

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,75·2,25 = 72,84 kN

Drukpunt

De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 0,4219/(3,75·2,25) = 3,8 m

Antwoord

y_cp = 3,8 m

3.Continuïteit en Bernoulli

Antwoord: p₁ = 94,02 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Snelheden

v₁ = Q/A₁ = 0,023/0,03142 = 0,7321 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,023/0,007854 = 2,928 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 90 + ½·1000·(2,928² − 0,7321²)/1000 = 90 + 4,02 = 94,02 kPa

Antwoord

p₁ = 94,02 kPa

4.Continuïteit en Bernoulli

Antwoord: p₂ = 323,2 kPa

Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.

Continuïteit en Bernoulli

Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(100/75)² = 4,889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 4,889²)/1000 = −8,169 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 400 + (−8,169) − 68,67 = 323,2 kPa

Antwoord

p₂ = 323,2 kPa

5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies

Antwoord: Δp = 324,9 kPa

Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen h_m = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = h_f + h_m, inclusief het uittredeverlies K = 1.

Drukhoogteverlies

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,05)·1,9²/(2·9,81) = 33,12 m

Drukval

De leiding is horizontaal en de snelheid verandert niet, dus de energievergelijking wordt Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·33,12 = 324900 Pa = 324,9 kPa

Antwoord

Δp = 324,9 kPa

6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies

Antwoord: Q = 182,3 L/s

Verliescoëfficiënten

f·L/D = 0,018·200/0,25 = 14,4

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Energievergelijking

Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.

13 = (14,4 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·13/18,5) = 3,713 m/s

Debiet

Q = V·π·D²/4 = 3,713·0,04909 = 0,1823 m³/s = 182,3 L/s

Antwoord

Q = 182,3 L/s

7.Pompen en pompvermogen

Antwoord: P_el = 82,61 kW

Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: P_shaft = P_h/η_pump, en de motor neemt P_el = P_shaft/η_motor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.

Hydraulisch vermogen

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·72 = 56,51 kW

Asvermogen

P_shaft = 56,51/0,72 = 78,48 kW

Elektrisch vermogen

P_el = 78,48/0,95 = 82,61 kW

Antwoord

P_el = 82,61 kW

8.Pompen en pompvermogen

Antwoord: H = 8,828 m

Snelheid

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Drukhoogteverliezen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,06529 = 1,828 m

Opvoerhoogte van de pomp

Beide oppervlakken zijn open en praktisch in rust, dus de druk- en snelheidstermen vallen weg.

H = Δz + h_L = 7 + 1,828 = 8,828 m

Antwoord

H = 8,828 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics