Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Stromingsleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 2 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 1 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met olie, met de bovenrand 1 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water loopt uit een grote open tank via een scherpgerande opening met een diameter van 30 mm. Het waterniveau wordt op 1,5 m boven de opening gehouden en de afvoercoëfficiënt is 0,62. Vind het debiet Q. Gebruik g = 9,81 m/s².
d = 30 mmh = 1,5 mCd = 0,62g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Water stroomt omhoog door een leiding die versmalt van 150 mm naar 100 mm en daarbij 10 m stijgt. In doorsnede 1 is de druk 310 kPa en de snelheid 1,25 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in doorsnede 2.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 310 kPav1 = 1,25 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water (ρ = 1000 kg/m³) stroomt met 2,7 m/s door een horizontale leiding van 800 m lang met een binnendiameter van 300 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018 en g = 9,81 m/s². Vind de drukval Δp over de leiding in kPa.
V = 2,7 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 150 m lang met een binnendiameter van 150 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,022. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 2 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 10) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Welk niveauverschil Δz tussen de reservoirs geeft een debiet van 60 L/s?
Q = 60 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Een pomp levert 10 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 10 m. Het pomprendement is 72% en de elektromotor die de pomp aandrijft heeft een rendement van 92%. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het elektrisch vermogen Pel dat de motor opneemt, in kW.
Q = 10 L/sH = 10 mηpump = 72%ηmotor = 92%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 12 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 7 m hoger ligt. De leiding is 300 m lang met een binnendiameter van 100 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Q = 12 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 8
H = m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 110,4 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN
Antwoord
F = 110,4 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 194,2 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,5·9 = 194,2 kN
Antwoord
F = 194,2 kN
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: Q = 2,377 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Ideale straalsnelheid
√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s
Werkelijk debiet
De afvoercoëfficiënt houdt rekening met de contractie van de straal en de wrijving aan de rand.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,62·0,0007069·5,425 = 0,002377 m³/s = 2,377 L/s
Antwoord
Q = 2,377 L/s
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 208,7 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(150/100)² = 2,813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 2,813²)/1000 = −3,174 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 310 + (−3,174) − 98,1 = 208,7 kPa
Antwoord
p2 = 208,7 kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Δp = 175 kPa
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Drukhoogteverlies
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,3)·2,7²/(2·9,81) = 17,83 m
Drukval
De leiding is horizontaal en de snelheid verandert niet, dus de energievergelijking wordt Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·17,83 = 174960 Pa = 175 kPa
Antwoord
Δp = 175 kPa
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Δz = 20,04 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheid
V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s
V²/(2g) = 0,5876 m
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,022·150/0,15 = 22
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Totaal drukhoogteverlies
hf = 22·0,5876 = 12,93 m
hm = 12,1·0,5876 = 7,11 m
Δz = hf + hm = 20,04 m
Antwoord
Δz = 20,04 m
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pel = 1,481 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·10 = 0,981 kW
Asvermogen
Pshaft = 0,981/0,72 = 1,363 kW
Elektrisch vermogen
Pel = 1,363/0,92 = 1,481 kW
Antwoord
Pel = 1,481 kW
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: H = 16,88 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 8)·0,119 = 9,876 m
Opvoerhoogte van de pomp
Beide oppervlakken zijn open en praktisch in rust, dus de druk- en snelheidstermen vallen weg.
H = Δz + hL = 7 + 9,876 = 16,88 m
Antwoord
H = 16,88 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics