Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Stromingsleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 0,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met zeewater, met de bovenrand 2,5 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale venturimeter met een inlaatdiameter van 150 mm en een keeldiameter van 75 mm. De druk bij de inlaat is 24 kPa hoger dan in de keel. Vind, zonder verliezen, het debiet Q.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 24 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Een slang met een binnendiameter van 25 mm hevelt water uit een open tank. Het hoogste punt C van de slang ligt 0,5 m boven het wateroppervlak, en de uitlaat (open naar de lucht) ligt 2 m onder het wateroppervlak. Verwaarloos verliezen en neem g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q.
d = 25 mmzC = +0,5 mz2 = −2 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met een gemiddelde snelheid van 1,6 m/s door een leiding van 1000 m lang met een binnendiameter van 100 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
V = 1,6 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Een leiding van 150 m lang met een binnendiameter van 100 mm (Darcy-wrijvingsfactor f = 0,02) loopt vanuit een open reservoir en stroomt als vrije straal uit in de lucht. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk) en een afsluiter (K = 10). Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe hoog H moet het reservoiroppervlak boven de uitstroomopening liggen voor een debiet van 25 L/s?
Q = 25 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Een pomp levert 150 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 24 m. Het pomprendement is 72% en de elektromotor die de pomp aandrijft heeft een rendement van 90%. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het elektrisch vermogen Pel dat de motor opneemt, in kW.
Q = 150 L/sH = 24 mηpump = 72%ηmotor = 90%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 100 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 8 m hoger ligt. De leiding is 300 m lang met een binnendiameter van 250 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 5 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². De bovenste tank is gesloten en de lucht boven het water staat op een overdruk van 400 kPa. Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Q = 100 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 5ptank = 400 kPa
H = m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 64,38 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·3,75 = 64,38 kN
Antwoord
F = 64,38 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: ycp = 3,308 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,25·2,25 = 73,53 kN
Drukpunt
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Ic = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,25 + 0,4219/(3,25·2,25) = 3,308 m
Antwoord
ycp = 3,308 m
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: Q = 31,61 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuïteit
v1 = v2·(75/150)² = 0,25·v2
Bernoulli tussen inlaat en keel
De leiding is horizontaal, dus alleen druk en snelheid veranderen.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·24000/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,155 m/s
v1 = 1,789 m/s
Debiet
Q = A2·v2 = 0,004418·7,155 = 0,03161 m³/s = 31,61 L/s
Antwoord
Q = 31,61 L/s
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: Q = 3,075 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Snelheid in de slang
Oppervlak en uitlaat zijn allebei open naar de lucht, dus de drukterm valt weg.
v = √(2g·2) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s
Debiet
Q = A·v = 0,0004909·6,264 = 0,003075 m³/s = 3,075 L/s
Antwoord
Q = 3,075 L/s
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 23,49 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(1000/0,1)·1,6²/(2·9,81) = 23,49 m
Antwoord
hf = 23,49 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: H = 22,05 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheid
V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,02·150/0,1 = 30
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7
Energievergelijking
De uitstromende straal heeft nog zijn snelheidshoogte; dat is geen verlies, maar die moet wel geleverd worden.
H = (1 + 30 + 11,7)·0,5164 = 22,05 m
Antwoord
H = 22,05 m
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pel = 54,5 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·24 = 35,32 kW
Asvermogen
Pshaft = 35,32/0,72 = 49,05 kW
Elektrisch vermogen
Pel = 49,05/0,9 = 54,5 kW
Antwoord
Pel = 54,5 kW
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: H = 53,64 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 5)·0,2115 = 4,865 m
Drukhoogte
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m
Opvoerhoogte van de pomp
Beide oppervlakken zijn praktisch in rust, dus er is geen term voor de snelheidshoogte.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 40,77 + 4,865 = 53,64 m
Antwoord
H = 53,64 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics