Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 100 mm geëxpandeerd polystyreen en 150 mm minerale wol, met een oppervlak van 20 m². De buitenzijden zijn 18 °C en -6 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 18 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 200 mm gipsplaat en 75 mm glas scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -6 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 4 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een meestroomwarmtewisselaar draagt 430 kW over. De warme vloeistof koelt af van 80 tot 60 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 55 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 200 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 430 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 80 → 60 °CTc: 30 → 55 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 95 tot 40 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 20 °C. Met U = 300 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 95 → 40 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 72,65 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·20) = 0,1429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·20) = 0,1875 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,3304 = 72,65 W
Antwoord
Q̇ = 72,65 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 17,05 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·4) = 0,2941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·4) = 0,01953 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,3678 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-6))/0,3678 = 70,69 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 70,69·0,04167 = 17,05 °C
Antwoord
Ts = 17,05 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 110 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 80 − 30 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 60 − 55 = 5 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 5)/ln(50/5) = 19,54 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 430000/(200·19,54) = 110 m²
Antwoord
A = 110 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 49,35 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·55 = 253 kW
Tc,out = 20 + 253/(1·4,18) = 80,53 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 80,53 = 14,47 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 20 = 20 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (14,47 − 20)/ln(14,47/20) = 17,09 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 253000/(300·17,09) = 49,35 m²
Antwoord
A = 49,35 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer