Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 150 mm geëxpandeerd polystyreen en 150 mm minerale wol, met een oppervlak van 10 m². De buitenzijden zijn 21 °C en 1 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 21 °CT3 = 1 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 200 mm minerale wol en 75 mm glas scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -13 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 20 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -13 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 500 kW over. Het warmtewisselend oppervlak is 25 m². De warme vloeistof koelt af van 90 tot 55 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 tot 75 °C. Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U.
Q̇ = 500 kWA = 25 m²Th: 90 → 55 °CTc: 20 → 75 °C
U = W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een tegenstroomwarmtewisselaar hebben beide stromen dezelfde warmtecapaciteitsstroom, ṁ·cp = 0,5 kW/K. De warme stroom komt binnen op 140 °C en de koude stroom op 10 °C. De wisselaar heeft A = 5 m² en U = 200 W/(m²·K). Vind de uittredetemperatuur van de warme stroom Th,out.
Ch = Cc = 0,5 kW/KTh,in = 140 °CTc,in = 10 °CA = 5 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 24,89 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·10) = 0,4286 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·10) = 0,375 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,8036 = 24,89 W
Antwoord
Q̇ = 24,89 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: U = 0,1919 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·20) = 0,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·20) = 0,003906 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,2606 K/W
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,2606) = 0,1919 W/(m²·K)
Antwoord
U = 0,1919 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: U = 847,3 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 75 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 35)/ln(15/35) = 23,6 K
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 500000/(25·23,6) = 847,3 W/(m²·K)
Antwoord
U = 847,3 W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: Th,out = 53,33 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Constant temperatuurverschil
De koude uitlaat ligt tegenover de warme inlaat: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), dus ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebalans gelijk aan warmteoverdrachtsvergelijking
0,5·(140 − Th,out) = 1·(Th,out − 10)
Th,out = (0,5·140 + 1·10)/(0,5 + 1) = 53,33 °C
Antwoord
Th,out = 53,33 °C
Overgedragen warmte: Q̇ = 43,33 kW; de koude stroom verlaat de wisselaar op 96,67 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer