Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 150 mm hout en 150 mm beton, met een oppervlak van 6 m². De buitenzijden zijn 19 °C en -1 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = -1 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 250 mm baksteen en 25 mm glas scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -5 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 380 kW over. De warme vloeistof koelt af van 165 tot 80 °C en de koude vloeistof warmt op van 15 tot 65 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 300 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 380 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 165 → 80 °CTc: 15 → 65 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Stoom condenseert bij een constante 140 °C aan de buitenkant van de buizen van een condensor met een warmtewisselend oppervlak van 8 m² en U = 3000 W/(m²·K). Koelwater (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) komt de buizen binnen op 15 °C. Vind de uittredetemperatuur van het water Tc,out.
Ts = 140 °CA = 8 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 121,3 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·6) = 0,01786 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,1649 = 121,3 W
Antwoord
Q̇ = 121,3 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 13,95 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·12) = 0,02894 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·12) = 0,00217 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,04471 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-5))/0,04471 = 559,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 559,2·0,01082 = 13,95 °C
Antwoord
Ts = 13,95 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 15,59 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 65 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 15 = 65 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 65)/ln(100/65) = 81,25 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 380000/(300·81,25) = 15,59 m²
Antwoord
A = 15,59 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: Tc,out = 121,6 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Combineer de energiebalans en de warmteoverdrachtsvergelijking
Met ΔT₁ = Ts − Tc,in en ΔT₂ = Ts − Tc,out is het verschil ΔT₁ − ΔT₂ gelijk aan de temperatuurstijging van het water, dus de stijging valt weg.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·8/(3·4180) = 1,914
Uittredetemperatuur
ΔT₂ = ΔT₁·e−1,914 = 125·0,1475 = 18,44 K
Tc,out = 140 − 18,44 = 121,6 °C
Antwoord
Tc,out = 121,6 °C
Overgedragen warmte: Q̇ = 1336 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer