Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 50 mm baksteen en 25 mm hout, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 16 °C en -11 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 16 °CT3 = -11 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 250 mm hout en 150 mm glas scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van 5 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 4 m². Vind het warmteverlies Q̇ door de wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 5 °C
Q̇ = W
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 120 kW over. De warme vloeistof koelt af van 105 tot 70 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 45 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 200 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 120 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 105 → 70 °CTc: 30 → 45 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) koelt af van 95 tot 35 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 2 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 15 °C. Met U = 800 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 95 → 35 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 7,34 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·12) = 0,005787 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·12) = 0,01225 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,01804 = 1497 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 1497·0,005787 = 7,34 °C
Antwoord
Ti = 7,34 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 34,72 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·4) = 0,3676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·4) = 0,03906 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,4609 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (21 − (5))/0,4609 = 34,72 W
Antwoord
Q̇ = 34,72 W
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 12,16 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 45 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 30 = 40 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 40)/ln(60/40) = 49,33 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 120000/(200·49,33) = 12,16 m²
Antwoord
A = 12,16 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 6,66 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·60 = 189 kW
Tc,out = 15 + 189/(2·4,18) = 37,61 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 37,61 = 57,39 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 15 = 20 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (57,39 − 20)/ln(57,39/20) = 35,47 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 189000/(800·35,47) = 6,66 m²
Antwoord
A = 6,66 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer