Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 150 mm glas en 75 mm baksteen, met een oppervlak van 4 m². De buitenzijden zijn 24 °C en 6 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 24 °CT3 = 6 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 100 mm baksteen en 25 mm beton scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -4 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 10 m². Vind het warmteverlies Q̇ door de wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -4 °C
Q̇ = W
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een meestroomwarmtewisselaar draagt 350 kW over. De warme vloeistof koelt af van 95 tot 70 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 60 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 350 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 95 → 70 °CTc: 30 → 60 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) koelt af van 175 tot 65 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 3 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 25 °C. Met U = 200 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 175 → 65 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 13,2 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·4) = 0,03906 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·4) = 0,02604 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,0651 = 276,5 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 276,5·0,03906 = 13,2 °C
Antwoord
Ti = 13,2 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 825,2 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·10) = 0,01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·10) = 0,001786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,03151 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (22 − (-4))/0,03151 = 825,2 W
Antwoord
Q̇ = 825,2 W
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 7,941 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 95 − 30 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 60 = 10 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 10)/ln(65/10) = 29,38 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 350000/(1500·29,38) = 7,941 m²
Antwoord
A = 7,941 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 8,649 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·110 = 137,5 kW
Tc,out = 25 + 137,5/(3·4,18) = 35,96 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 35,96 = 139 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 25 = 40 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (139 − 40)/ln(139/40) = 79,49 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 137500/(200·79,49) = 8,649 m²
Antwoord
A = 8,649 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer