Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Hout, k = 0,1750 mmGeëxpandeerd polystyreen, k = 0,03550 mm25 °C-6 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 50 mm hout en 50 mm geëxpandeerd polystyreen, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 25 °C en -6 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Glas, k = 0,96150 mmGeëxpandeerd polystyreen, k = 0,035150 mmkamer 21 °Cbuiten -15 °CQ̇

Een wand van 150 mm glas en 150 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -15 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -15 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT120 °C75 °C20 °C65 °CΔT₁ΔT₂meestroom

Een meestroomwarmtewisselaar draagt 180 kW over. Het warmtewisselend oppervlak is 15 m². De warme vloeistof koelt af van 120 tot 75 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 tot 65 °C. Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U.

Q̇ = 180 kWA = 15 m²Th: 120 → 75 °CTc: 20 → 65 °C
U = W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT105 °C60 °C37,61 °C15 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Warme olie (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) koelt af van 105 tot 60 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 0,5 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 15 °C. Met U = 1000 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 105 → 60 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = 19,71 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·12) = 0,119 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,1436 = 215,9 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 215,9·0,02451 = 19,71 °C

Antwoord

Ti = 19,71 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: U = 0,2166 W/(m²·K)

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·12) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·12) = 0,3571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,3847 K/W

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,3847) = 0,2166 W/(m²·K)

Antwoord

U = 0,2166 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: U = 307 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 120 − 20 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 75 − 65 = 10 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 10)/ln(100/10) = 39,09 K

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 180000/(15·39,09) = 307 W/(m²·K)

Antwoord

U = 307 W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 0,8522 m²

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·45 = 47,25 kW
Tc,out = 15 + 47,25/(0,5·4,18) = 37,61 °C

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 37,61 = 67,39 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (67,39 − 45)/ln(67,39/45) = 55,44 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 47250/(1000·55,44) = 0,8522 m²

Antwoord

A = 0,8522 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer