Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier: Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand: R = L/(kA)
Convectieweerstand: R = 1/(hA)
Weerstanden in serie: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-waarde: U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen: Q = U·A·ΔT_lm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil: ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
Balans van een stroom: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld

Een wand bestaat uit 100 mm gipsplaat en 100 mm minerale wol, met een oppervlak van 8 m². De buitenzijden zijn 24 °C en -14 °C. Vind de temperatuur T_i op het grensvlak tussen de twee lagen.

L₁ = 100 mm, k₁ = 0,17 W/(m·K)L₂ = 100 mm, k₂ = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²T₁ = 24 °CT₃ = -14 °C

T_i = °C

2.WarmtegeleidingMoeilijk

Een wand van 100 mm gipsplaat en 100 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -15 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 10 m². Vind het warmteverlies Q̇ door de wand.

L₁ = 100 mm, k₁ = 0,17 W/(m·K)L₂ = 100 mm, k₂ = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²h_i = 8 W/(m²·K)h_o = 20 W/(m²·K)T_room = 20 °CT_out = -15 °C

Q̇ = W

3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld

Een pijpenbundelwarmtewisselaar (één mantelgang, twee buisgangen) moet 740 kW overdragen. De warme vloeistof koelt af van 180 tot 135 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 55 °C. De LMTD-correctiefactor voor deze opstelling is F = 0,85, en U = 300 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Q̇ = 740 kWF = 0,85U = 300 W/(m²·K)T_h: 180 → 135 °CT_c: 30 → 55 °C

A = m²

4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk

Stoom condenseert bij een constante 130 °C aan de buitenkant van de buizen van een condensor met een warmtewisselend oppervlak van 2,5 m² en U = 2000 W/(m²·K). Koelwater (2 kg/s, c_p = 4,18 kJ/(kg·K)) komt de buizen binnen op 20 °C. Vind de uittredetemperatuur van het water T_c,out.

T_s = 130 °CA = 2,5 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/sc_p = 4,18 kJ/(kg·K)T_c,in = 20 °C

T_c,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: T_i = 16,76 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R₁ = L₁/(k₁A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 38/0,386 = 98,44 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 24 − 98,44·0,07353 = 16,76 °C

Antwoord

T_i = 16,76 °C

2.Warmtegeleiding

Antwoord: Q̇ = 96,67 W

Weerstanden in serie

R_i = 1/(h_iA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (100/1000)/(0,17·10) = 0,05882 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (100/1000)/(0,035·10) = 0,2857 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W

ΣR = 0,362 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (20 − (-15))/0,362 = 96,67 W

Antwoord

Q̇ = 96,67 W

3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 25,3 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Eindtemperatuurverschillen (tegenstroom)

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = 180 − 55 = 125 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,in = 135 − 30 = 105 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 105)/ln(125/105) = 114,7 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·F·ΔT_lm,cf) = 740000/(300·0,85·114,7) = 25,3 m²

Antwoord

A = 25,3 m²

4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: T_c,out = 69,52 °C

Combineer de energiebalans en de warmteoverdrachtsvergelijking

Met ΔT₁ = T_s − T_c,in en ΔT₂ = T_s − T_c,out is het verschil ΔT₁ − ΔT₂ gelijk aan de temperatuurstijging van het water, dus de stijging valt weg.

ṁc_p(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)

ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁc_p) = 2000·2,5/(2·4180) = 0,5981

Uittredetemperatuur

ΔT₂ = ΔT₁·e^−0,5981 = 110·0,5499 = 60,48 K

T_c,out = 130 − 60,48 = 69,52 °C

Antwoord

T_c,out = 69,52 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 413,9 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer