Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Gipsplaat, k = 0,17100 mmGlas, k = 0,9675 mm18 °C8 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 100 mm gipsplaat en 75 mm glas, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 18 °C en 8 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 18 °CT3 = 8 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Gipsplaat, k = 0,1750 mmBeton, k = 1,475 mmkamer 21 °Cbuiten -2 °CQ̇

Een wand van 50 mm gipsplaat en 75 mm beton scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -2 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT135 °C80 °C65 °C30 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Een pijpenbundelwarmtewisselaar (één mantelgang, twee buisgangen) moet 110 kW overdragen. De warme vloeistof koelt af van 135 tot 80 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 65 °C. De LMTD-correctiefactor voor deze opstelling is F = 0,95, en U = 500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Q̇ = 110 kWF = 0,95U = 500 W/(m²·K)Th: 135 → 80 °CTc: 30 → 65 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT125 °C??30 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

In een tegenstroomwarmtewisselaar hebben beide stromen dezelfde warmtecapaciteitsstroom, ṁ·cp = 1,5 kW/K. De warme stroom komt binnen op 125 °C en de koude stroom op 30 °C. De wisselaar heeft A = 3 m² en U = 300 W/(m²·K). Vind de uittredetemperatuur van de warme stroom Th,out.

Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 125 °CTc,in = 30 °CA = 3 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = 9,172 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·12) = 0,00651 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,05553 = 180,1 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 180,1·0,04902 = 9,172 °C

Antwoord

Ti = 9,172 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: U = 1,95 W/(m²·K)

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·12) = 0,004464 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,04272 K/W

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,04272) = 1,95 W/(m²·K)

Antwoord

U = 1,95 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 3,896 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Eindtemperatuurverschillen (tegenstroom)

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 65 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 50)/ln(70/50) = 59,44 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 110000/(500·0,95·59,44) = 3,896 m²

Antwoord

A = 3,896 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Th,out = 89,38 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Constant temperatuurverschil

De koude uitlaat ligt tegenover de warme inlaat: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), dus ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Energiebalans gelijk aan warmteoverdrachtsvergelijking

1,5·(125 − Th,out) = 0,9·(Th,out − 30)
Th,out = (1,5·125 + 0,9·30)/(1,5 + 0,9) = 89,38 °C

Antwoord

Th,out = 89,38 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 53,44 kW; de koude stroom verlaat de wisselaar op 65,63 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer