Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Beton, k = 1,4250 mmHout, k = 0,17100 mm18 °C7 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 250 mm beton en 100 mm hout, met een oppervlak van 15 m². De buitenzijden zijn 18 °C en 7 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 18 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Geëxpandeerd polystyreen, k = 0,035250 mmHout, k = 0,17150 mmkamer 22 °Cbuiten -12 °CTs​ = ?Q̇

Een wand van 250 mm geëxpandeerd polystyreen en 150 mm hout scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -12 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.

L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -12 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT135 °C115 °C15 °C100 °CΔT₁ΔT₂meestroom

Een meestroomwarmtewisselaar draagt 250 kW over. Het warmtewisselend oppervlak is 15 m². De warme vloeistof koelt af van 135 tot 115 °C en de koude vloeistof warmt op van 15 tot 100 °C. Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U.

Q̇ = 250 kWA = 15 m²Th: 135 → 115 °CTc: 15 → 100 °C
U = W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT105 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂condenserende stoom

Stoom condenseert bij een constante 105 °C aan de buitenkant van de buizen van een condensor met een warmtewisselend oppervlak van 2 m² en U = 2500 W/(m²·K). Koelwater (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) komt de buizen binnen op 15 °C. Vind de uittredetemperatuur van het water Tc,out.

Ts = 105 °CA = 2 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = 15,44 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·15) = 0,0119 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0,05112 = 215,2 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 215,2·0,0119 = 15,44 °C

Antwoord

Ti = 15,44 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Ts = 21,46 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·12) = 0,5952 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,6824 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (22 − (-12))/0,6824 = 49,83 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 49,83·0,01082 = 21,46 °C

Antwoord

Ts = 21,46 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: U = 330,1 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 135 − 15 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 100 = 15 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 15)/ln(120/15) = 50,49 K

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 250000/(15·50,49) = 330,1 W/(m²·K)

Antwoord

U = 330,1 W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Tc,out = 96,77 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combineer de energiebalans en de warmteoverdrachtsvergelijking

Met ΔT₁ = Ts − Tc,in en ΔT₂ = Ts − Tc,out is het verschil ΔT₁ − ΔT₂ gelijk aan de temperatuurstijging van het water, dus de stijging valt weg.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·2/(0,5·4180) = 2,392

Uittredetemperatuur

ΔT₂ = ΔT₁·e−2,392 = 90·0,09142 = 8,227 K
Tc,out = 105 − 8,227 = 96,77 °C

Antwoord

Tc,out = 96,77 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 170,9 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer