Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Glas, k = 0,96250 mmGipsplaat, k = 0,1725 mm17 °C3 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 250 mm glas en 25 mm gipsplaat, met een oppervlak van 15 m². De buitenzijden zijn 17 °C en 3 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 17 °CT3 = 3 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Hout, k = 0,17200 mmBeton, k = 1,4150 mmkamer 21 °Cbuiten -10 °CQ̇ = ?

Een wand van 200 mm hout en 150 mm beton scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -10 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 15 m². Vind het warmteverlies Q̇ door de wand.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -10 °C
Q̇ = W
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT100 °C75 °C10 °C45 °CΔT₁ΔT₂meestroom

Een meestroomwarmtewisselaar draagt 400 kW over. De warme vloeistof koelt af van 100 tot 75 °C en de koude vloeistof warmt op van 10 tot 45 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Q̇ = 400 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 100 → 75 °CTc: 10 → 45 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT105 °C55 °C?25 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

In een dubbelepijpwarmtewisselaar met tegenstroom stroomt hete olie (0,3 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) door de binnenbuis en koelt af van 105 tot 55 °C. Water (0,3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) in de ringspleet komt binnen op 25 °C. De binnenbuis heeft een diameter van 32 mm, en U = 500 W/(m²·K) is op deze diameter gebaseerd. Vind de benodigde buislengte L.

ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 105 → 55 °Cṁc = 0,3 kg/sTc,in = 25 °CD = 32 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = 8,053 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·15) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·15) = 0,009804 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,02717 = 515,4 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 515,4·0,01736 = 8,053 °C

Antwoord

Ti = 8,053 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Q̇ = 309,9 W

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·15) = 0,07843 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·15) = 0,007143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,1 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (21 − (-10))/0,1 = 309,9 W

Antwoord

Q̇ = 309,9 W
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 4,883 m²

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 100 − 10 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 75 − 45 = 30 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 30)/ln(90/30) = 54,61 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 400000/(1500·54,61) = 4,883 m²

Antwoord

A = 4,883 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: L = 19,04 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water

Q̇ = 0,3·2,5·(105 − 55) = 37,5 kW
Tc,out = 25 + 37,5/(0,3·4,18) = 54,9 °C

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 54,9 = 50,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50,1 − 30)/ln(50,1/30) = 39,19 K

Oppervlak en lengte

A = 37500/(500·39,19) = 1,914 m²
L = A/(πD) = 1,914/(π·0,032) = 19,04 m

Antwoord

L = 19,04 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer