Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 200 mm gipsplaat en 75 mm minerale wol, met een oppervlak van 10 m². De buitenzijden zijn 23 °C en 3 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 23 °CT3 = 3 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 250 mm minerale wol en 50 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -11 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 10 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een meestroomwarmtewisselaar draagt 130 kW over. De warme vloeistof koelt af van 90 tot 55 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 50 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 200 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 130 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 90 → 55 °CTc: 30 → 50 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 165 tot 45 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 2 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 25 °C. Met U = 1000 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 165 → 45 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 15,29 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·10) = 0,1176 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·10) = 0,1875 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,3051 = 65,54 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 65,54·0,1176 = 15,29 °C
Antwoord
Ti = 15,29 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: U = 0,1279 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·10) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·10) = 0,1429 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,7819 K/W
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,7819) = 0,1279 W/(m²·K)
Antwoord
U = 0,1279 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 29,37 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 30 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 50 = 5 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 5)/ln(60/5) = 22,13 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 130000/(200·22,13) = 29,37 m²
Antwoord
A = 29,37 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 13,38 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·120 = 552 kW
Tc,out = 25 + 552/(2·4,18) = 91,03 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 91,03 = 73,97 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 25 = 20 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (73,97 − 20)/ln(73,97/20) = 41,26 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 552000/(1000·41,26) = 13,38 m²
Antwoord
A = 13,38 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer