Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Gipsplaat, k = 0,17150 mmHout, k = 0,17100 mm16 °C-4 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 150 mm gipsplaat en 100 mm hout, met een oppervlak van 6 m². De buitenzijden zijn 16 °C en -4 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 16 °CT3 = -4 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Geëxpandeerd polystyreen, k = 0,03550 mmGipsplaat, k = 0,17150 mmkamer 20 °Cbuiten -8 °CTs​ = ?Q̇

Een wand van 50 mm geëxpandeerd polystyreen en 150 mm gipsplaat scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -8 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 4 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -8 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT110 °C15 °C50 °CΔT₁ΔT₂condenserende stoom

In een condensor condenseert stoom bij een constante 110 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 15 tot 50 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 3000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Ts = 110 °Cṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 50 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT80 °C??15 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

In een tegenstroomwarmtewisselaar hebben beide stromen dezelfde warmtecapaciteitsstroom, ṁ·cp = 2 kW/K. De warme stroom komt binnen op 80 °C en de koude stroom op 15 °C. De wisselaar heeft A = 4 m² en U = 200 W/(m²·K). Vind de uittredetemperatuur van de warme stroom Th,out.

Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 80 °CTc,in = 15 °CA = 4 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = 4 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·6) = 0,09804 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,2451 = 81,6 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 81,6·0,1471 = 4 °C

Antwoord

Ti = 4 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Ts = 18,86 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·4) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,6127 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (20 − (-8))/0,6127 = 45,7 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 45,7·0,025 = 18,86 °C

Antwoord

Ts = 18,86 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 1,281 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen aan de waterkant

Q̇ = 2·4,18·(50 − 15) = 292,6 kW

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

ΔT₁ = 110 − 15 = 95 K
ΔT₂ = 110 − 50 = 60 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 60)/ln(95/60) = 76,16 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 292600/(3000·76,16) = 1,281 m²

Antwoord

A = 1,281 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Th,out = 61,43 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Constant temperatuurverschil

De koude uitlaat ligt tegenover de warme inlaat: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), dus ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Energiebalans gelijk aan warmteoverdrachtsvergelijking

2·(80 − Th,out) = 0,8·(Th,out − 15)
Th,out = (2·80 + 0,8·15)/(2 + 0,8) = 61,43 °C

Antwoord

Th,out = 61,43 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 37,14 kW; de koude stroom verlaat de wisselaar op 33,57 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer