Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 200 mm beton en 75 mm geëxpandeerd polystyreen, met een oppervlak van 10 m². De buitenzijden zijn 22 °C en 5 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 22 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 200 mm baksteen en 25 mm beton scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -11 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 8 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 180 kW over. De warme vloeistof koelt af van 120 tot 35 °C en de koude vloeistof warmt op van 15 tot 65 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 200 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 180 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 120 → 35 °CTc: 15 → 65 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 180 tot 135 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 0,5 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 15 °C. Met U = 500 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 180 → 135 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 20,94 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·10) = 0,01429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·10) = 0,2143 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0,2286 = 74,38 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 74,38·0,01429 = 20,94 °C
Antwoord
Ti = 20,94 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 13,04 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·8) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·8) = 0,002232 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,0557 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-11))/0,0557 = 556,5 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 556,5·0,0125 = 13,04 °C
Antwoord
Ts = 13,04 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 26,01 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 65 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 15 = 20 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 20)/ln(55/20) = 34,6 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 180000/(200·34,6) = 26,01 m²
Antwoord
A = 26,01 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 2,966 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·45 = 155,3 kW
Tc,out = 15 + 155,3/(0,5·4,18) = 89,28 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 89,28 = 90,72 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 135 − 15 = 120 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90,72 − 120)/ln(90,72/120) = 104,7 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 155250/(500·104,7) = 2,966 m²
Antwoord
A = 2,966 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer