Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 200 mm beton en 100 mm minerale wol, met een oppervlak van 15 m². De buitenzijden zijn 17 °C en 6 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 17 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 250 mm geëxpandeerd polystyreen en 25 mm baksteen scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van 0 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 10 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 0 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 140 kW over. De warme vloeistof koelt af van 105 tot 85 °C en de koude vloeistof warmt op van 25 tot 55 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 300 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 140 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 105 → 85 °CTc: 25 → 55 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) koelt af van 180 tot 85 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 3 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 20 °C. Met U = 800 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 180 → 85 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 62,43 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·15) = 0,009524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0,1762 = 62,43 W
Antwoord
Q̇ = 62,43 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 20,64 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·10) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·10) = 0,003472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,7353 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (21 − (0))/0,7353 = 28,56 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 28,56·0,0125 = 20,64 °C
Antwoord
Ts = 20,64 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 8,508 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 55 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 60)/ln(50/60) = 54,85 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 140000/(300·54,85) = 8,508 m²
Antwoord
A = 8,508 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 4,717 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·95 = 356,3 kW
Tc,out = 20 + 356,3/(3·4,18) = 48,41 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 48,41 = 131,6 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 20 = 65 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (131,6 − 65)/ln(131,6/65) = 94,41 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 356250/(800·94,41) = 4,717 m²
Antwoord
A = 4,717 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer