Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 100 mm glas en 100 mm gipsplaat, met een oppervlak van 20 m². De buitenzijden zijn 25 °C en 10 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 25 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 50 mm gipsplaat en 50 mm baksteen scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -11 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 8 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
In een condensor condenseert stoom bij een constante 120 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 30 tot 60 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Ts = 120 °Cṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 60 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 125 tot 50 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 20 °C. Met U = 1000 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 125 → 50 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 433,3 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·20) = 0,005208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,03462 = 433,3 W
Antwoord
Q̇ = 433,3 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 13,86 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·8) = 0,008681 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,06585 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (22 − (-11))/0,06585 = 501,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 501,2·0,01623 = 13,86 °C
Antwoord
Ts = 13,86 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 1,695 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Warmtevermogen aan de waterkant
Q̇ = 1·4,18·(60 − 30) = 125,4 kW
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
ΔT₁ = 120 − 30 = 90 K
ΔT₂ = 120 − 60 = 60 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 60)/ln(90/60) = 73,99 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 125400/(1000·73,99) = 1,695 m²
Antwoord
A = 1,695 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 1,64 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·75 = 86,25 kW
Tc,out = 20 + 86,25/(1·4,18) = 40,63 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 40,63 = 84,37 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (84,37 − 30)/ln(84,37/30) = 52,58 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 86250/(1000·52,58) = 1,64 m²
Antwoord
A = 1,64 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer