Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 200 mm baksteen en 150 mm geëxpandeerd polystyreen, met een oppervlak van 4 m². De buitenzijden zijn 18 °C en 1 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 18 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 150 mm geëxpandeerd polystyreen en 150 mm glas scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van 4 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 20 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 4 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 230 kW over. De warme vloeistof koelt af van 150 tot 60 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 70 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 200 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 230 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 150 → 60 °CTc: 30 → 70 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 175 tot 65 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 15 °C. Met U = 300 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 175 → 65 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 16,97 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·4) = 0,06944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·4) = 1,071 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/1,141 = 14,9 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 14,9·0,06944 = 16,97 °C
Antwoord
Ti = 16,97 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: U = 0,2147 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·20) = 0,2143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·20) = 0,007813 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,2329 K/W
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,2329) = 0,2147 W/(m²·K)
Antwoord
U = 0,2147 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 22,56 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 70 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 30 = 30 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 30)/ln(80/30) = 50,98 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 230000/(200·50,98) = 22,56 m²
Antwoord
A = 22,56 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 11,73 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·110 = 253 kW
Tc,out = 15 + 253/(1·4,18) = 75,53 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 75,53 = 99,47 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 15 = 50 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (99,47 − 50)/ln(99,47/50) = 71,92 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 253000/(300·71,92) = 11,73 m²
Antwoord
A = 11,73 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer