Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 50 mm glas en 75 mm geëxpandeerd polystyreen, met een oppervlak van 6 m². De buitenzijden zijn 18 °C en -13 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 18 °CT3 = -13 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 100 mm geëxpandeerd polystyreen en 25 mm minerale wol scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -10 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 6 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een meestroomwarmtewisselaar draagt 210 kW over. De warme vloeistof koelt af van 160 tot 140 °C en de koude vloeistof warmt op van 25 tot 120 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 210 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 160 → 140 °CTc: 25 → 120 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een tegenstroomwarmtewisselaar hebben beide stromen dezelfde warmtecapaciteitsstroom, ṁ·cp = 2 kW/K. De warme stroom komt binnen op 90 °C en de koude stroom op 25 °C. De wisselaar heeft A = 5 m² en U = 800 W/(m²·K). Vind de uittredetemperatuur van de warme stroom Th,out.
Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 90 °CTc,in = 25 °CA = 5 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 84,74 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·6) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·6) = 0,3571 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,3658 = 84,74 W
Antwoord
Q̇ = 84,74 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: U = 0,2711 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·6) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·6) = 0,1042 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,6148 K/W
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,6148) = 0,2711 W/(m²·K)
Antwoord
U = 0,2711 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 3,487 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 160 − 25 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 140 − 120 = 20 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 20)/ln(135/20) = 60,22 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 210000/(1000·60,22) = 3,487 m²
Antwoord
A = 3,487 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: Th,out = 46,67 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Constant temperatuurverschil
De koude uitlaat ligt tegenover de warme inlaat: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), dus ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebalans gelijk aan warmteoverdrachtsvergelijking
2·(90 − Th,out) = 4·(Th,out − 25)
Th,out = (2·90 + 4·25)/(2 + 4) = 46,67 °C
Antwoord
Th,out = 46,67 °C
Overgedragen warmte: Q̇ = 86,67 kW; de koude stroom verlaat de wisselaar op 68,33 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer