Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 150 mm geëxpandeerd polystyreen en 25 mm beton, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 17 °C en -6 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 17 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 50 mm minerale wol en 100 mm hout scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -6 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 4 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een meestroomwarmtewisselaar draagt 70 kW over. De warme vloeistof koelt af van 125 tot 65 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 tot 30 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 300 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 70 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 125 → 65 °CTc: 20 → 30 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) koelt af van 175 tot 100 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 3 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 30 °C. Met U = 1000 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 175 → 100 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = −5,905 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·12) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·12) = 0,001488 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0,3586 = 64,13 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 64,13·0,3571 = −5,905 °C
Antwoord
Ti = −5,905 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 18,38 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·4) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,5008 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-6))/0,5008 = 51,92 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 51,92·0,03125 = 18,38 °C
Antwoord
Ts = 18,38 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 3,662 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 125 − 20 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 30 = 35 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 35)/ln(105/35) = 63,72 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 70000/(300·63,72) = 3,662 m²
Antwoord
A = 3,662 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 2,478 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·75 = 236,3 kW
Tc,out = 30 + 236,3/(3·4,18) = 48,84 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 48,84 = 126,2 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 30 = 70 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (126,2 − 70)/ln(126,2/70) = 95,34 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 236250/(1000·95,34) = 2,478 m²
Antwoord
A = 2,478 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer