Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 200 mm minerale wol en 100 mm beton, met een oppervlak van 8 m². De buitenzijden zijn 24 °C en 0 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 24 °CT3 = 0 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 200 mm minerale wol en 75 mm beton scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van 1 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 15 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 1 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een meestroomwarmtewisselaar draagt 110 kW over. De warme vloeistof koelt af van 105 tot 65 °C en de koude vloeistof warmt op van 25 tot 45 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 800 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 110 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 105 → 65 °CTc: 25 → 45 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 100 tot 60 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 2 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 15 °C. Met U = 1000 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 100 → 60 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 37,86 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·8) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·8) = 0,008929 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,6339 = 37,86 W
Antwoord
Q̇ = 37,86 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 20,62 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·15) = 0,3333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·15) = 0,003571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,3469 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (21 − (1))/0,3469 = 57,65 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 57,65·0,006667 = 20,62 °C
Antwoord
Ts = 20,62 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 3,177 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 25 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 45 = 20 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 20)/ln(80/20) = 43,28 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 110000/(800·43,28) = 3,177 m²
Antwoord
A = 3,177 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 2,468 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·40 = 138 kW
Tc,out = 15 + 138/(2·4,18) = 31,51 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 31,51 = 68,49 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (68,49 − 45)/ln(68,49/45) = 55,93 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 138000/(1000·55,93) = 2,468 m²
Antwoord
A = 2,468 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer