Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 100 mm geëxpandeerd polystyreen en 100 mm glas, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 20 °C en -15 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 20 °CT3 = -15 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 200 mm geëxpandeerd polystyreen en 75 mm glas scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -8 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 20 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -8 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 90 kW over. De warme vloeistof koelt af van 85 tot 50 °C en de koude vloeistof warmt op van 10 tot 65 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 90 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 85 → 50 °CTc: 10 → 65 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 90 tot 45 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 20 °C. Met U = 500 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 90 → 45 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = −13,77 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·12) = 0,2381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·12) = 0,008681 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 35/0,2468 = 141,8 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 141,8·0,2381 = −13,77 °C
Antwoord
Ti = −13,77 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 19,22 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·20) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·20) = 0,003906 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,3 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-8))/0,3 = 93,35 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 93,35·0,008333 = 19,22 °C
Antwoord
Ts = 19,22 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 6,238 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 65 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 10 = 40 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 40)/ln(20/40) = 28,85 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 90000/(500·28,85) = 6,238 m²
Antwoord
A = 6,238 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 6,066 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·45 = 103,5 kW
Tc,out = 20 + 103,5/(1·4,18) = 44,76 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 44,76 = 45,24 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 20 = 25 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45,24 − 25)/ln(45,24/25) = 34,13 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 103500/(500·34,13) = 6,066 m²
Antwoord
A = 6,066 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer