Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 150 mm geëxpandeerd polystyreen en 50 mm gipsplaat, met een oppervlak van 6 m². De buitenzijden zijn 16 °C en -2 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 16 °CT3 = -2 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 50 mm gipsplaat en 100 mm beton scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -9 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 15 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -9 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een meestroomwarmtewisselaar draagt 120 kW over. De warme vloeistof koelt af van 105 tot 65 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 55 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 200 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 120 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 105 → 65 °CTc: 30 → 55 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) koelt af van 145 tot 45 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 25 °C. Met U = 200 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 145 → 45 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = −0,844 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·6) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,7633 = 23,58 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 23,58·0,7143 = −0,844 °C
Antwoord
Ti = −0,844 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 13,08 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·15) = 0,004762 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,03493 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-9))/0,03493 = 830,3 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 830,3·0,008333 = 13,08 °C
Antwoord
Ts = 13,08 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 18,6 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 30 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 55 = 10 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 10)/ln(75/10) = 32,26 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 120000/(200·32,26) = 18,6 m²
Antwoord
A = 18,6 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 51,32 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·100 = 315 kW
Tc,out = 25 + 315/(1·4,18) = 100,4 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 100,4 = 44,64 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 25 = 20 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (44,64 − 20)/ln(44,64/20) = 30,69 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 315000/(200·30,69) = 51,32 m²
Antwoord
A = 51,32 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer