Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Hout, k = 0,1750 mmGlas, k = 0,9625 mm17 °C-15 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 50 mm hout en 25 mm glas, met een oppervlak van 8 m². De buitenzijden zijn 17 °C en -15 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = -15 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Baksteen, k = 0,72150 mmGeëxpandeerd polystyreen, k = 0,03550 mmkamer 22 °Cbuiten -11 °CTs​ = ?Q̇

Een wand van 150 mm baksteen en 50 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -11 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 4 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT105 °C15 °C75 °CΔT₁ΔT₂condenserende stoom

In een condensor condenseert stoom bij een constante 105 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 15 tot 75 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 3000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Ts = 105 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 75 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT135 °C75 °C?25 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

In een dubbelepijpwarmtewisselaar met tegenstroom stroomt hete olie (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) door de binnenbuis en koelt af van 135 tot 75 °C. Water (0,2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) in de ringspleet komt binnen op 25 °C. De binnenbuis heeft een diameter van 20 mm, en U = 150 W/(m²·K) is op deze diameter gebaseerd. Vind de benodigde buislengte L.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 135 → 75 °Cṁc = 0,2 kg/sTc,in = 25 °CD = 20 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = −12,4 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·8) = 0,003255 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,04002 = 799,6 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 799,6·0,03676 = −12,4 °C

Antwoord

Ti = −12,4 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Ts = 19,71 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·4) = 0,05208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·4) = 0,3571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,4505 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (22 − (-11))/0,4505 = 73,26 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 73,26·0,03125 = 19,71 °C

Antwoord

Ts = 19,71 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 7,654 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen aan de waterkant

Q̇ = 5·4,18·(75 − 15) = 1254 kW

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

ΔT₁ = 105 − 15 = 90 K
ΔT₂ = 105 − 75 = 30 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 30)/ln(90/30) = 54,61 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,254 × 10⁶/(3000·54,61) = 7,654 m²

Antwoord

A = 7,654 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: L = 241,6 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water

Q̇ = 0,5·2,5·(135 − 75) = 75 kW
Tc,out = 25 + 75/(0,2·4,18) = 114,7 °C

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 114,7 = 20,29 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 25 = 50 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20,29 − 50)/ln(20,29/50) = 32,94 K

Oppervlak en lengte

A = 75000/(150·32,94) = 15,18 m²
L = A/(πD) = 15,18/(π·0,02) = 241,6 m

Antwoord

L = 241,6 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer