Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 150 mm beton en 100 mm hout, met een oppervlak van 4 m². De buitenzijden zijn 22 °C en 6 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 22 °CT3 = 6 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 200 mm hout en 150 mm minerale wol scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -11 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 6 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 120 kW over. De warme vloeistof koelt af van 160 tot 140 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 140 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 120 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 160 → 140 °CTc: 30 → 140 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een dubbelepijpwarmtewisselaar met tegenstroom stroomt hete olie (0,3 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) door de binnenbuis en koelt af van 115 tot 85 °C. Water (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) in de ringspleet komt binnen op 10 °C. De binnenbuis heeft een diameter van 40 mm, en U = 250 W/(m²·K) is op deze diameter gebaseerd. Vind de benodigde buislengte L.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 115 → 85 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 10 °CD = 40 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 19,53 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·4) = 0,02679 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,1738 = 92,04 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 92,04·0,02679 = 19,53 °C
Antwoord
Ti = 19,53 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 19,24 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·6) = 0,1961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·6) = 0,625 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,8486 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-11))/0,8486 = 36,53 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 36,53·0,02083 = 19,24 °C
Antwoord
Ts = 19,24 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 1,515 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 140 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 140 − 30 = 110 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 110)/ln(20/110) = 52,79 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 120000/(1500·52,79) = 1,515 m²
Antwoord
A = 1,515 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: L = 8,501 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = 0,3·2,5·(115 − 85) = 22,5 kW
Tc,out = 10 + 22,5/(0,5·4,18) = 20,77 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 20,77 = 94,23 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 10 = 75 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (94,23 − 75)/ln(94,23/75) = 84,25 K
Oppervlak en lengte
A = 22500/(250·84,25) = 1,068 m²
L = A/(πD) = 1,068/(π·0,04) = 8,501 m
Antwoord
L = 8,501 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer