Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Minerale wol, k = 0,0450 mmGipsplaat, k = 0,1725 mm23 °C-13 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 50 mm minerale wol en 25 mm gipsplaat, met een oppervlak van 4 m². De buitenzijden zijn 23 °C en -13 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 23 °CT3 = -13 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Glas, k = 0,9650 mmGipsplaat, k = 0,17100 mmkamer 21 °Cbuiten -14 °CTs​ = ?Q̇

Een wand van 50 mm glas en 100 mm gipsplaat scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -14 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -14 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT120 °C10 °C105 °CΔT₁ΔT₂condenserende stoom

In een condensor condenseert stoom bij een constante 120 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 10 tot 105 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Ts = 120 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 105 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT100 °C60 °C?15 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

In een dubbelepijpwarmtewisselaar met tegenstroom stroomt hete olie (0,8 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) door de binnenbuis en koelt af van 100 tot 60 °C. Water (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) in de ringspleet komt binnen op 15 °C. De binnenbuis heeft een diameter van 20 mm, en U = 200 W/(m²·K) is op deze diameter gebaseerd. Vind de benodigde buislengte L.

ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 100 → 60 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 15 °CD = 20 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = −9,211 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·4) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·4) = 0,03676 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 36/0,3493 = 103,1 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 103,1·0,3125 = −9,211 °C

Antwoord

Ti = −9,211 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Ts = 15,52 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,06655 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (21 − (-14))/0,06655 = 525,9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 525,9·0,01042 = 15,52 °C

Antwoord

Ts = 15,52 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 2,776 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen aan de waterkant

Q̇ = 0,5·4,18·(105 − 10) = 198,5 kW

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

ΔT₁ = 120 − 10 = 110 K
ΔT₂ = 120 − 105 = 15 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 15)/ln(110/15) = 47,68 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 198550/(1500·47,68) = 2,776 m²

Antwoord

A = 2,776 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: L = 121 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water

Q̇ = 0,8·2,5·(100 − 60) = 80 kW
Tc,out = 15 + 80/(0,8·4,18) = 38,92 °C

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 38,92 = 61,08 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (61,08 − 45)/ln(61,08/45) = 52,63 K

Oppervlak en lengte

A = 80000/(200·52,63) = 7,6 m²
L = A/(πD) = 7,6/(π·0,02) = 121 m

Antwoord

L = 121 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer