Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Beton, k = 1,4100 mmMinerale wol, k = 0,0475 mm22 °C-10 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 100 mm beton en 75 mm minerale wol, met een oppervlak van 4 m². De buitenzijden zijn 22 °C en -10 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 22 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Hout, k = 0,17250 mmBeton, k = 1,475 mmkamer 21 °Cbuiten -5 °CQ̇

Een wand van 250 mm hout en 75 mm beton scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -5 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 10 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -5 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT90 °C55 °C65 °C25 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Een pijpenbundelwarmtewisselaar (één mantelgang, twee buisgangen) moet 490 kW overdragen. De warme vloeistof koelt af van 90 tot 55 °C en de koude vloeistof warmt op van 25 tot 65 °C. De LMTD-correctiefactor voor deze opstelling is F = 0,92, en U = 300 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Q̇ = 490 kWF = 0,92U = 300 W/(m²·K)Th: 90 → 55 °CTc: 25 → 65 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT130 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂condenserende stoom

Stoom condenseert bij een constante 130 °C aan de buitenkant van de buizen van een condensor met een warmtewisselend oppervlak van 5 m² en U = 1000 W/(m²·K). Koelwater (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) komt de buizen binnen op 15 °C. Vind de uittredetemperatuur van het water Tc,out.

Ts = 130 °CA = 5 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = 20,83 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·4) = 0,4688 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,4866 = 65,76 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 65,76·0,01786 = 20,83 °C

Antwoord

Ti = 20,83 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: U = 0,6009 W/(m²·K)

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·10) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·10) = 0,005357 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,1664 K/W

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,1664) = 0,6009 W/(m²·K)

Antwoord

U = 0,6009 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 64,74 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Eindtemperatuurverschillen (tegenstroom)

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 65 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 30)/ln(25/30) = 27,42 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 490000/(300·0,92·27,42) = 64,74 m²

Antwoord

A = 64,74 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Tc,out = 95,23 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combineer de energiebalans en de warmteoverdrachtsvergelijking

Met ΔT₁ = Ts − Tc,in en ΔT₂ = Ts − Tc,out is het verschil ΔT₁ − ΔT₂ gelijk aan de temperatuurstijging van het water, dus de stijging valt weg.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·5/(1·4180) = 1,196

Uittredetemperatuur

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,196 = 115·0,3023 = 34,77 K
Tc,out = 130 − 34,77 = 95,23 °C

Antwoord

Tc,out = 95,23 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 335,4 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer