Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 50 mm glas en 100 mm baksteen, met een oppervlak van 8 m². De buitenzijden zijn 18 °C en -5 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 18 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 200 mm beton en 75 mm gipsplaat scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van 4 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 20 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een pijpenbundelwarmtewisselaar (één mantelgang, twee buisgangen) moet 530 kW overdragen. De warme vloeistof koelt af van 145 tot 110 °C en de koude vloeistof warmt op van 25 tot 95 °C. De LMTD-correctiefactor voor deze opstelling is F = 0,92, en U = 1000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 530 kWF = 0,92U = 1000 W/(m²·K)Th: 145 → 110 °CTc: 25 → 95 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een dubbelepijpwarmtewisselaar met tegenstroom stroomt hete olie (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) door de binnenbuis en koelt af van 150 tot 60 °C. Water (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) in de ringspleet komt binnen op 25 °C. De binnenbuis heeft een diameter van 20 mm, en U = 400 W/(m²·K) is op deze diameter gebaseerd. Vind de benodigde buislengte L.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 60 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 25 °CD = 20 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 11,73 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·8) = 0,00651 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·8) = 0,01736 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0,02387 = 963,5 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 963,5·0,00651 = 11,73 °C
Antwoord
Ti = 11,73 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 17,82 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·20) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·20) = 0,02206 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,0367 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (4))/0,0367 = 435,9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 435,9·0,005 = 17,82 °C
Antwoord
Ts = 17,82 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 8,734 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Eindtemperatuurverschillen (tegenstroom)
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 95 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 25 = 85 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 85)/ln(50/85) = 65,96 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 530000/(1000·0,92·65,96) = 8,734 m²
Antwoord
A = 8,734 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: L = 61,92 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = 0,5·2,1·(150 − 60) = 94,5 kW
Tc,out = 25 + 94,5/(0,8·4,18) = 53,26 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 53,26 = 96,74 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (96,74 − 35)/ln(96,74/35) = 60,73 K
Oppervlak en lengte
A = 94500/(400·60,73) = 3,89 m²
L = A/(πD) = 3,89/(π·0,02) = 61,92 m
Antwoord
L = 61,92 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer