Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 150 mm baksteen en 100 mm beton, met een oppervlak van 20 m². De buitenzijden zijn 15 °C en -6 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 15 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 200 mm baksteen en 75 mm beton scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van 5 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 20 m². Vind het warmteverlies Q̇ door de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 5 °C
Q̇ = W
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een meestroomwarmtewisselaar draagt 360 kW over. De warme vloeistof koelt af van 170 tot 65 °C en de koude vloeistof warmt op van 25 tot 45 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 360 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 170 → 65 °CTc: 25 → 45 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 85 tot 55 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 3 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 30 °C. Met U = 200 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 85 → 55 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = −0,6383 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·20) = 0,01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,01399 = 1501 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 1501·0,01042 = −0,6383 °C
Antwoord
Ti = −0,6383 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 606,6 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·20) = 0,01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·20) = 0,002679 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,02473 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (5))/0,02473 = 606,6 W
Antwoord
Q̇ = 606,6 W
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 3,804 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 170 − 25 = 145 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 45 = 20 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (145 − 20)/ln(145/20) = 63,1 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 360000/(1500·63,1) = 3,804 m²
Antwoord
A = 3,804 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 20,53 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·30 = 138 kW
Tc,out = 30 + 138/(3·4,18) = 41 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 41 = 44 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (44 − 25)/ln(44/25) = 33,61 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 138000/(200·33,61) = 20,53 m²
Antwoord
A = 20,53 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer