Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 100 mm gipsplaat en 100 mm geëxpandeerd polystyreen, met een oppervlak van 4 m². De buitenzijden zijn 24 °C en 4 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 24 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 150 mm glas en 75 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -13 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 20 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 320 kW over. De warme vloeistof koelt af van 175 tot 90 °C en de koude vloeistof warmt op van 10 tot 105 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 200 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 320 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 175 → 90 °CTc: 10 → 105 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een dubbelepijpwarmtewisselaar met tegenstroom stroomt hete olie (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) door de binnenbuis en koelt af van 125 tot 90 °C. Water (0,2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) in de ringspleet komt binnen op 10 °C. De binnenbuis heeft een diameter van 25 mm, en U = 400 W/(m²·K) is op deze diameter gebaseerd. Vind de benodigde buislengte L.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 125 → 90 °Cṁc = 0,2 kg/sTc,in = 10 °CD = 25 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 20,59 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·4) = 0,7143 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,8613 = 23,22 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 23,22·0,1471 = 20,59 °C
Antwoord
Ti = 20,59 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: U = 0,41 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·20) = 0,007813 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·20) = 0,1071 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,122 K/W
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,122) = 0,41 W/(m²·K)
Antwoord
U = 0,41 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 21,37 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 105 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 10 = 80 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 80)/ln(70/80) = 74,89 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 320000/(200·74,89) = 21,37 m²
Antwoord
A = 21,37 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: L = 15,51 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = 0,5·2,1·(125 − 90) = 36,75 kW
Tc,out = 10 + 36,75/(0,2·4,18) = 53,96 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 53,96 = 71,04 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 10 = 80 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (71,04 − 80)/ln(71,04/80) = 75,43 K
Oppervlak en lengte
A = 36750/(400·75,43) = 1,218 m²
L = A/(πD) = 1,218/(π·0,025) = 15,51 m
Antwoord
L = 15,51 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer