Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 50 mm hout en 100 mm minerale wol, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 19 °C en -7 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 19 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 150 mm beton en 150 mm minerale wol scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -1 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -1 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 450 kW over. De warme vloeistof koelt af van 145 tot 60 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 tot 135 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 300 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 450 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 145 → 60 °CTc: 20 → 135 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) koelt af van 165 tot 135 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 0,5 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 15 °C. Met U = 300 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 165 → 135 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 111,7 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·12) = 0,2083 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,2328 = 111,7 W
Antwoord
Q̇ = 111,7 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: U = 0,2461 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·12) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·12) = 0,3125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,3387 K/W
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,3387) = 0,2461 W/(m²·K)
Antwoord
U = 0,2461 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 69,31 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 135 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 20 = 40 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 40)/ln(10/40) = 21,64 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(300·21,64) = 69,31 m²
Antwoord
A = 69,31 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 3,484 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·30 = 112,5 kW
Tc,out = 15 + 112,5/(0,5·4,18) = 68,83 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 68,83 = 96,17 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 135 − 15 = 120 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (96,17 − 120)/ln(96,17/120) = 107,6 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 112500/(300·107,6) = 3,484 m²
Antwoord
A = 3,484 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer