Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Minerale wol, k = 0,0450 mmBeton, k = 1,450 mm20 °C-6 °CQ̇ = ?

Een wand bestaat uit 50 mm minerale wol en 50 mm beton, met een oppervlak van 15 m². De buitenzijden zijn 20 °C en -6 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 20 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Glas, k = 0,96100 mmGeëxpandeerd polystyreen, k = 0,035150 mmkamer 22 °Cbuiten -6 °CTs​ = ?Q̇

Een wand van 100 mm glas en 150 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -6 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 6 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT150 °C80 °C140 °C20 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 320 kW over. De warme vloeistof koelt af van 150 tot 80 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 tot 140 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 800 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Q̇ = 320 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 150 → 80 °CTc: 20 → 140 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT140 °C95 °C?15 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

In een dubbelepijpwarmtewisselaar met tegenstroom stroomt hete olie (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) door de binnenbuis en koelt af van 140 tot 95 °C. Water (0,3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) in de ringspleet komt binnen op 15 °C. De binnenbuis heeft een diameter van 32 mm, en U = 200 W/(m²·K) is op deze diameter gebaseerd. Vind de benodigde buislengte L.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 95 °Cṁc = 0,3 kg/sTc,in = 15 °CD = 32 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Q̇ = 303,3 W

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·15) = 0,08333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·15) = 0,002381 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,08571 = 303,3 W

Antwoord

Q̇ = 303,3 W
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Ts = 20,99 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·6) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·6) = 0,7143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,7678 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (22 − (-6))/0,7678 = 36,47 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 36,47·0,02778 = 20,99 °C

Antwoord

Ts = 20,99 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 14,33 m²

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 140 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 20 = 60 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 60)/ln(10/60) = 27,91 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 320000/(800·27,91) = 14,33 m²

Antwoord

A = 14,33 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: L = 28,11 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water

Q̇ = 0,5·2,1·(140 − 95) = 47,25 kW
Tc,out = 15 + 47,25/(0,3·4,18) = 52,68 °C

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 52,68 = 87,32 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 15 = 80 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (87,32 − 80)/ln(87,32/80) = 83,61 K

Oppervlak en lengte

A = 47250/(200·83,61) = 2,826 m²
L = A/(πD) = 2,826/(π·0,032) = 28,11 m

Antwoord

L = 28,11 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer