Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Baksteen, k = 0,72150 mmHout, k = 0,1775 mm19 °C8 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 150 mm baksteen en 75 mm hout, met een oppervlak van 6 m². De buitenzijden zijn 19 °C en 8 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = 8 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Beton, k = 1,4150 mmGlas, k = 0,96100 mmkamer 21 °Cbuiten -12 °CQ̇

Een wand van 150 mm beton en 100 mm glas scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -12 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 4 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -12 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT130 °C45 °C20 °C10 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Een pijpenbundelwarmtewisselaar (één mantelgang, twee buisgangen) moet 570 kW overdragen. De warme vloeistof koelt af van 130 tot 45 °C en de koude vloeistof warmt op van 10 tot 20 °C. De LMTD-correctiefactor voor deze opstelling is F = 0,8, en U = 300 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Q̇ = 570 kWF = 0,8U = 300 W/(m²·K)Th: 130 → 45 °CTc: 10 → 20 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂condenserende stoom

Stoom condenseert bij een constante 105 °C aan de buitenkant van de buizen van een condensor met een warmtewisselend oppervlak van 2 m² en U = 3000 W/(m²·K). Koelwater (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) komt de buizen binnen op 10 °C. Vind de uittredetemperatuur van het water Tc,out.

Ts = 105 °CA = 2 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = 15,47 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·6) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·6) = 0,07353 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0,1083 = 101,6 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 101,6·0,03472 = 15,47 °C

Antwoord

Ti = 15,47 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: U = 2,67 W/(m²·K)

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·4) = 0,02679 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,09363 K/W

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,09363) = 2,67 W/(m²·K)

Antwoord

U = 2,67 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 36,26 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Eindtemperatuurverschillen (tegenstroom)

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 20 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 10 = 35 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 35)/ln(110/35) = 65,49 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 570000/(300·0,8·65,49) = 36,26 m²

Antwoord

A = 36,26 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Tc,out = 68,51 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combineer de energiebalans en de warmteoverdrachtsvergelijking

Met ΔT₁ = Ts − Tc,in en ΔT₂ = Ts − Tc,out is het verschil ΔT₁ − ΔT₂ gelijk aan de temperatuurstijging van het water, dus de stijging valt weg.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·2/(1,5·4180) = 0,9569

Uittredetemperatuur

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,9569 = 95·0,3841 = 36,49 K
Tc,out = 105 − 36,49 = 68,51 °C

Antwoord

Tc,out = 68,51 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 366,9 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer