Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 50 mm glas en 50 mm hout, met een oppervlak van 6 m². De buitenzijden zijn 24 °C en -12 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 24 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 50 mm gipsplaat en 150 mm beton scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -3 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 10 m². Vind het warmteverlies Q̇ door de wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Q̇ = W
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 450 kW over. De warme vloeistof koelt af van 135 tot 50 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 60 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 450 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 135 → 50 °CTc: 30 → 60 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 160 tot 75 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 0,5 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 25 °C. Met U = 500 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 160 → 75 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 18,58 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·6) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 36/0,0577 = 623,9 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 623,9·0,008681 = 18,58 °C
Antwoord
Ti = 18,58 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 372,2 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·10) = 0,02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·10) = 0,01071 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,06179 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-3))/0,06179 = 372,2 W
Antwoord
Q̇ = 372,2 W
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 10,81 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 60 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 30 = 20 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 20)/ln(75/20) = 41,61 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(1000·41,61) = 10,81 m²
Antwoord
A = 10,81 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 8,575 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·85 = 195,5 kW
Tc,out = 25 + 195,5/(0,5·4,18) = 118,5 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 118,5 = 41,46 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 25 = 50 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (41,46 − 50)/ln(41,46/50) = 45,6 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 195500/(500·45,6) = 8,575 m²
Antwoord
A = 8,575 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer