Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Geëxpandeerd polystyreen, k = 0,035200 mmGipsplaat, k = 0,17100 mm23 °C-8 °CQ̇ = ?

Een wand bestaat uit 200 mm geëxpandeerd polystyreen en 100 mm gipsplaat, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 23 °C en -8 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 23 °CT3 = -8 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Minerale wol, k = 0,04200 mmBaksteen, k = 0,7275 mmkamer 21 °Cbuiten 2 °CTs​ = ?Q̇

Een wand van 200 mm minerale wol en 75 mm baksteen scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van 2 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 15 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 2 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT95 °C50 °C45 °C20 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 450 kW over. De warme vloeistof koelt af van 95 tot 50 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 tot 45 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Q̇ = 450 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 95 → 50 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT165 °C??10 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

In een tegenstroomwarmtewisselaar hebben beide stromen dezelfde warmtecapaciteitsstroom, ṁ·cp = 1,5 kW/K. De warme stroom komt binnen op 165 °C en de koude stroom op 10 °C. De wisselaar heeft A = 5 m² en U = 300 W/(m²·K). Vind de uittredetemperatuur van de warme stroom Th,out.

Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 165 °CTc,in = 10 °CA = 5 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Q̇ = 59,02 W

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·12) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,5252 = 59,02 W

Antwoord

Q̇ = 59,02 W
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Ts = 20,53 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·15) = 0,3333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·15) = 0,006944 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,3512 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (21 − (2))/0,3512 = 54,11 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 54,11·0,008658 = 20,53 °C

Antwoord

Ts = 20,53 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 7,662 m²

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 45 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 30)/ln(50/30) = 39,15 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(1500·39,15) = 7,662 m²

Antwoord

A = 7,662 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Th,out = 87,5 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Constant temperatuurverschil

De koude uitlaat ligt tegenover de warme inlaat: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), dus ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Energiebalans gelijk aan warmteoverdrachtsvergelijking

1,5·(165 − Th,out) = 1,5·(Th,out − 10)
Th,out = (1,5·165 + 1,5·10)/(1,5 + 1,5) = 87,5 °C

Antwoord

Th,out = 87,5 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 116,3 kW; de koude stroom verlaat de wisselaar op 87,5 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer