Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Een creditcard rekent een nominale rente van 20 % per jaar, halfjaarlijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.

r = 20%m = 2

EAR = %

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Je leent €25 000 tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €500 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.

P = €25 000A = €5005,4% / 12

N = betalingen

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 12 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 299 als het effectieve rendement 3% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.

F = €1 000n = 12P = €1 299YTM = 3%

c = %

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €885. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.

F = €1 000coupon = 3%n = 7P = €885

YTM = %

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €12 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.

E = €12 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen die noteren op €17,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €20 400 000. Ze heeft net een dividend van €2,30 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 3% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €54 400 000 en kosten vóór belasting van 4,5%. Het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.

N = 4 000 000P₀ = €17,00boekwaarde eigen vermogen = €20 400 000D₀ = €2,30g = 3%D = €54 400 000r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een project kost vandaag €30 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 6 €6 000, €8 500, €10 500, €10 000, €9 000, €8 500 op. De vermogenskosten zijn 5 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 6 000CF₂ = 8 500CF₃ = 10 500CF₄ = 10 000CF₅ = 9 000CF₆ = 8 500

DPB = jaar

8.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost vandaag €150 000. De kasstroom is €27 500 aan het eind van jaar 1 en groeit met 4 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 6. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €27 500g = 4%n = 6r = 12%

NPV = €

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: EAR = 21 %

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente per periode

r/m = 0,2/2 = 0,1

Samenstellen over één jaar

EAR = (1 + 0,1)² − 1 = 1,21 − 1 = 21%

Antwoord

EAR = 21%

De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: N = 57 betalingen

Herschrijf de annuïteitenformule

i = 0,0045

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0,0045/500 = 0,775

Los op met logaritmen

N = −ln(0,775)/ln(1,004) = 56,77

Rond naar boven af op hele betalingen

56 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.

N = 57

Antwoord

N = 57 betalingen

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: c = 6,004 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Contante waarde van de nominale waarde

1000·(1 + 0,03)⁻¹² = €701,38

Coupon

C = (1299 − 701,38)/9,954 = €60,04

Couponrente

c = 60,04/1000 = 6,004%

Antwoord

c = 6,004%

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTM = 4,986 %

Vergelijking voor het rendement

€885 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Los numeriek op

P(4%) = €939,98, P(5%) = €884,27

YTM = 4,986%

Antwoord

YTM = 4,986%

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 6,46 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €17 000 000, E/V = 0,7059, D/V = 0,2941

WACC

WACC = 0,7059·8% + 0,2941·3,5%·(1 − 0,21) = 6,46%

Antwoord

WACC = 6,46%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 10,89 %

Kosten van het eigen vermogen

D₁ = 2,3·1,03 = €2,37

r_e = 2,369/17 + 0,03 = 16,94%

Marktwaarden

E = 4 000 000·€17,00 = €68 000 000

V = €122 400 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·16,94% + 0,4444·4,5%·(1 − 0,258) = 10,89%

Antwoord

WACC = 10,89%

7.NCW & IRR

Antwoord: DPB = 3,912 jaar

Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.

Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen

jaar 1: 6 000/1,05 = 5 714,29 → Σ = 5 714,29

jaar 2: 8 500/1,103 = 7 709,75 → Σ = 13 424,04

jaar 3: 10 500/1,158 = 9 070,29 → Σ = 22 494,33

jaar 4: 10 000/1,216 = 8 227,02 → Σ = 30 721,36

Fractie van het laatste jaar

DPB = 3 + 7 505,67/8 227,02 = 3,912

Antwoord

DPB = 3,912 jaar

De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,5 jaar).

8.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −26611 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van de groeiende annuïteit

((1,04)/(1,12))⁶ = 0,641

PV = 27 500/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,641) = 123 389,06

NPV

NPV = 123 389,06 − 150 000 = −€26 610,94

Antwoord

NPV = −€26 610,94

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation