Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je belegt €2 000 tegen 2 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 10 jaar.

PV = €2 000r = 2%t = 10

FV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Je spaart 28 jaar lang aan het eind van elke maand €150. De rekening geeft 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.

A = €1503% / 12N = 336

FV = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 8%YTM = 2,5%n = 11

P = €

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 095. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.

F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €1 095

YTM = %

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,75. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.

D/E = 0,75r_e = 8%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €47,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 21%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 3% en het marktrendement 10%. Bereken de WACC.

β = 1,1r_f = 3%r_m = 10%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €8 000, €12 000, €14 000, €11 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 12 000CF₃ = 14 000CF₄ = 11 000

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €33 000, €35 500, €30 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF₀ = −50 000CF₁ = 33 000CF₂ = 35 500CF₃ = 30 000

IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 2443 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Exponent

r·t = 0,02·10 = 0,2

e^0,2 = 1,221

Eindwaarde

FV = 2 000·1,221 = €2 442,81

Antwoord

FV = €2 442,81

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 78836 €

Maandrente en aantal stortingen

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·28 = 336

Eindwaarde van de stortingen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2,314 − 1)/0,0025 = €78 836,41

Antwoord

FV = €78 836,41

Je hebt zelf €50 400 ingelegd; de rest is rente.

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 1526 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €40,00, i = 0,0125, N = 22

Contante waarde van de coupons

€40,00·(1 − 0,7609)/0,0125 = €765,22

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,7609 = €760,87

Koers

P = €1 526,09

Antwoord

P = €1 526,09

Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTM = 2,504 %

Vergelijking voor het rendement

€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Los numeriek op

P(2%) = €1 129,44, P(3%) = €1 062,30

YTM = 2,504%

Antwoord

YTM = 2,504%

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 6,114 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten uit D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·8% + 0,4286·4,5%·(1 − 0,2) = 6,114%

Antwoord

WACC = 6,114%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 10,14 %

Marktwaarden

E = 4 000 000·€47,50 = €190 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 3% + 1,1·7% = 10,7%

Gewichten

V = €209 600 000, E/V = 0,9065, D/V = 0,09351

WACC

WACC = 0,9065·10,7% + 0,09351·6%·(1 − 0,21) = 10,14%

Antwoord

WACC = 10,14%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = 6043 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van elke kasstroom

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 8 000/1,09 = 7 339,45

CF₂/(1 + 0,09)² = 12 000/1,188 = 10 100,16

CF₃/(1 + 0,09)³ = 14 000/1,295 = 10 810,57

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 11 000/1,412 = 7 792,68

Optellen

NPV = €6 042,86

Antwoord

NPV = €6 042,86

De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 44,14 %

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(40%) = 2 616,62

NPV(45%) = −516,22

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 40 + 5·2 616,62/(2 616,62 − (−516,22)) = 44,18%

exact: NPV(44,14%) = 0 → IRR = 44,14%

Antwoord

IRR = 44,14%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation