Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je belegt €12 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 7 jaar.

PV = €12 0003,6% / 12n = 7

FV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Je stort 12 jaar lang aan het begin van elk jaar €3 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 7 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 12 op de rekening? Bereken FV.

A = €3 000i = 7%n = 12

FV = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 12 jaar af. Het effectieve rendement is 3% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 6%YTM = 3%n = 12

P = €

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 8% loopt over 9 jaar af en wordt verkocht voor €1 065. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.

F = €1 000coupon = 8%n = 9P = €1 065

YTM = %

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €8 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van de preferente aandelen 7% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3%. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.

E = €8 000 000P_s = €1 500 000D = €4 000 000r_e = 11%r_p = 7%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,2 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5. Ze wil die verhouding verhogen tot 1,5. Het belastingtarief is 30%, de risicovrije rente 4% en de marktrisicopremie 4%. Bereken de kosten van het eigen vermogen r_e na de wijziging.

β_L = 1,2D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,5T = 30%r_f = 4%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een project kost vandaag €250 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €18 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 2 % per jaar. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €18 000g = 2%r = 10%

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost vandaag €50 000. De kasstroom is €5 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 2 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 10. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €5 000g = 2%n = 10r = 8%

NPV = €

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 15433 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·7 = 84

Eindwaarde

FV = 12 000·(1 + 0,003)⁸⁴ = 12 000·1,286 = €15 433,33

Antwoord

FV = €15 433,33

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 57422 €

Gewone annuïteitsfactor

((1 + 0,07)¹² − 1)/0,07 = 17,89

Prenumerando annuïteit

Elke storting staat een jaar langer uit.

FV = 3 000·17,89·1,07 = €57 421,93

Antwoord

FV = €57 421,93

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 1300 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €30,00, i = 0,015, N = 24

Contante waarde van de coupons

€30,00·(1 − 0,6995)/0,015 = €600,91

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,6995 = €699,54

Koers

P = €1 300,46

Antwoord

P = €1 300,46

Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTM = 7,002 %

Vergelijking voor het rendement

€1 065 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Los numeriek op

P(7%) = €1 065,15, P(8%) = €1 000,00

YTM = 7,002%

Antwoord

YTM = 7,002%

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 7,963 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = 8 000 000 + 1 500 000 + 4 000 000 = €13 500 000

E/V = 0,5926, P_s/V = 0,1111, D/V = 0,2963

WACC

WACC = 0,5926·11% + 0,1111·7% + 0,2963·3%·(1 − 0,25) = 7,963%

Antwoord

WACC = 7,963%

6.CAPM en WACC

Antwoord: r_e = 11,29 %

Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij β_U de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).

Haal de hefboom uit de bèta

β_U = 1,2/(1 + 0,7·0,5) = 0,8889

Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E

β_L = 0,8889·(1 + 0,7·1,5) = 1,822

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 4% + 1,822·4% = 11,29%

Antwoord

r_e = 11,29%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −25000 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Waarde van de kasstromen

PV = 18 000/(0,1 − 0,02) = 225 000,00

NPV

NPV = 225 000,00 − 250 000 = −€25 000,00

Antwoord

NPV = −€25 000,00

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −13719 €

Contante waarde van de groeiende annuïteit

((1,02)/(1,08))¹⁰ = 0,5646

PV = 5 000/(0,08 − 0,02)·(1 − 0,5646) = 36 280,81

NPV

NPV = 36 280,81 − 50 000 = −€13 719,19

Antwoord

NPV = −€13 719,19

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation