Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 5 jaar.

PV = €2 0003,6% / 12n = 5

FV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een lening van €8 000 wordt in 6 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.

P = €8 0002,4% / 12N = 72

A = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 7 jaar af. Het effectieve rendement is 6% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 7%YTM = 6%n = 7

P = €

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Ze wordt verkocht voor €974. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.

F = €1 000coupon = 7% (2×)n = 3P = €974

YTM = %

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een aandeel met een bèta van 1,2 heeft een vereist rendement van 9,8%. De risicovrije rente is 2%. Welk verwacht marktrendement r_m volgt uit CAPM?

β = 1,2r_e = 9,8%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 0,6. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5 aan te houden. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen r_e bij de nieuwe vermogensstructuur.

β_U = 0,6D/E = 0,5T = 28%r_f = 3,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een project kost vandaag €200 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €26 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 2 % per jaar. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €26 000g = 2%r = 12%

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €37 000, €36 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF₀ = −50 000CF₁ = 37 000CF₂ = 36 500

IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 2394 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·5 = 60

Eindwaarde

FV = 2 000·(1 + 0,003)⁶⁰ = 2 000·1,197 = €2 393,79

Antwoord

FV = €2 393,79

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: A = 119,4 €

Maandrente en aantal termijnen

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·6 = 72

Termijn

De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.

(1 + i)^−N = 0,866

A = 8 000·0,002/(1 − 0,866) = €119,41

Antwoord

A = €119,41

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 1056 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €35,00, i = 0,03, N = 14

Contante waarde van de coupons

€35,00·(1 − 0,6611)/0,03 = €395,36

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,6611 = €661,12

Koers

P = €1 056,48

Antwoord

P = €1 056,48

Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTM = 7,992 %

Per periode

C = €35,00, N = 6

Los numeriek op

i = 3,996% per halfjaar

YTM

YTM = 2·3,996% = 7,992%

Antwoord

YTM = 7,992%

5.CAPM en WACC

Antwoord: r_m = 8,5 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Marktrisicopremie

r_m − r_f = (9,8% − 2%)/1,2 = 6,5%

Marktrendement

r_m = 2% + 6,5% = 8,5%

Antwoord

r_m = 8,5%

6.CAPM en WACC

Antwoord: r_e = 7,58 %

Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij β_U de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).

Bèta met hefboom

β_L = 0,6·(1 + 0,72·0,5) = 0,816

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,816·5% = 7,58%

Antwoord

r_e = 7,58%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = 60000 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Waarde van de kasstromen

PV = 26 000/(0,12 − 0,02) = 260 000,00

NPV

NPV = 260 000,00 − 200 000 = €60 000,00

Antwoord

NPV = €60 000,00

De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 30,11 %

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(30%) = 59,17

NPV(35%) = −2 565,16

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 30 + 5·59,17/(59,17 − (−2 565,16)) = 30,11%

exact: NPV(30,11%) = 0 → IRR = 30,11%

Antwoord

IRR = 30,11%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation