Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je belegt €10 000 tegen 8 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 2 jaar.

PV = €10 000r = 8%t = 2

FV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Je leent €10 000 tegen 3 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €200 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.

P = €10 000A = €2003% / 12

N = betalingen

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 8% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 7%YTM = 8%n = 4

P = €

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 8 jaar af en wordt verkocht voor €945. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.

F = €1 000coupon = 7%n = 8P = €945

YTM = %

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €10 000 000, preferente aandelen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van de preferente aandelen 8% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3%. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.

E = €10 000 000P_s = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 12%r_p = 8%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen die noteren op €29,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €34 800 000. Ze heeft net een dividend van €1,50 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 3% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €46 400 000 en kosten vóór belasting van 3%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.

N = 2 000 000P₀ = €29,00boekwaarde eigen vermogen = €34 800 000D₀ = €1,50g = 3%D = €46 400 000r_d = 3%T = 28%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €14 000, €26 000, €19 000, €16 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 14 000CF₂ = 26 000CF₃ = 19 000CF₄ = 16 000

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €7 000, €7 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000

IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 11735 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Exponent

r·t = 0,08·2 = 0,16

e^0,16 = 1,174

Eindwaarde

FV = 10 000·1,174 = €11 735,11

Antwoord

FV = €11 735,11

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: N = 54 betalingen

Herschrijf de annuïteitenformule

i = 0,0025

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,0025/200 = 0,875

Los op met logaritmen

N = −ln(0,875)/ln(1,002) = 53,48

Rond naar boven af op hele betalingen

53 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.

N = 54

Antwoord

N = 54 betalingen

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 966,3 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €35,00, i = 0,04, N = 8

Contante waarde van de coupons

€35,00·(1 − 0,7307)/0,04 = €235,65

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,7307 = €730,69

Koers

P = €966,34

Antwoord

P = €966,34

Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTM = 7,955 %

Vergelijking voor het rendement

€945 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Los numeriek op

P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €942,53

YTM = 7,955%

Antwoord

YTM = 7,955%

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 8,697 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = 10 000 000 + 2 000 000 + 5 000 000 = €17 000 000

E/V = 0,5882, P_s/V = 0,1176, D/V = 0,2941

WACC

WACC = 0,5882·12% + 0,1176·8% + 0,2941·3%·(1 − 0,21) = 8,697%

Antwoord

WACC = 8,697%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 5,586 %

Kosten van het eigen vermogen

D₁ = 1,5·1,03 = €1,54

r_e = 1,545/29 + 0,03 = 8,328%

Marktwaarden

E = 2 000 000·€29,00 = €58 000 000

V = €104 400 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·8,328% + 0,4444·3%·(1 − 0,28) = 5,586%

Antwoord

WACC = 5,586%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = 4974 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van elke kasstroom

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 14 000/1,06 = 13 207,55

CF₂/(1 + 0,06)² = 26 000/1,124 = 23 139,91

CF₃/(1 + 0,06)³ = 19 000/1,191 = 15 952,77

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 16 000/1,262 = 12 673,50

Optellen

NPV = €4 973,72

Antwoord

NPV = €4 973,72

De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 25,69 %

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(25%) = 80,00

NPV(30%) = −473,37

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 25 + 5·80,00/(80,00 − (−473,37)) = 25,72%

exact: NPV(25,69%) = 0 → IRR = 25,69%

Antwoord

IRR = 25,69%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation