Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €1 000 tegen 6 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 3 jaar.
PV = €1 000r = 6%t = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €10 000 tegen 6 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €200 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €10 000A = €2006% / 12
N = betalingen
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 13 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 5,5% naar 7%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 7%n = 13y1 = 5,5%y2 = 7%
ΔP = €
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 4%n = 5YTM = 5%
D = jaar
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,4. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
D/E = 0,4re = 10%rd = 5%T = 25%
WACC = %
6.CAPM en WACCMoeilijk
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1,1. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4 aan te houden. Het belastingtarief is 20%, de risicovrije rente 2% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1,1D/E = 0,4T = 20%rf = 2%rm − rf = 7%
re = %
7.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €15 000, €22 000, €14 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost vandaag €100 000. De kasstroom is €27 500 aan het eind van jaar 1 en groeit met 4 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 4. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €27 500g = 4%n = 4r = 12%
NPV = €
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 1197 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,06·3 = 0,18
e0,18 = 1,197
Eindwaarde
FV = 1 000·1,197 = €1 197,22
Antwoord
FV = €1 197,22
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 58 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,005/200 = 0,75
Los op met logaritmen
N = −ln(0,75)/ln(1,005) = 57,68
Rond naar boven af op hele betalingen
57 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 58
Antwoord
N = 58 betalingen
3.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = −136,8 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 40/1,05 = 38,10, t·PV = 38,10
t = 2: 40/1,103 = 36,28, t·PV = 72,56
t = 3: 40/1,158 = 34,55, t·PV = 103,66
t = 4: 40/1,216 = 32,91, t·PV = 131,63
t = 5: 1040/1,276 = 814,87, t·PV = 4 074,34
Duration
P = 956,71
D = 4 420,29/956,71 = 4,62
Antwoord
D = 4,62 jaar
5.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,214 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·10% + 0,2857·5%·(1 − 0,25) = 8,214%
Antwoord
WACC = 8,214%
6.CAPM en WACC
Antwoord: re = 12,16 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1,1·(1 + 0,8·0,4) = 1,452
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 1,452·7% = 12,16%
Antwoord
re = 12,16%
7.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 485,5 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 15 000/1,06 = 14 150,94
CF2/(1 + 0,06)2 = 22 000/1,124 = 19 579,92
CF3/(1 + 0,06)3 = 14 000/1,191 = 11 754,67
Optellen
NPV = €485,54
Antwoord
NPV = €485,54
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
8.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −11817 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.