Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Methode

  1. Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
  2. Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
  3. Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
  4. Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag

Methode

  1. Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
  2. Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
  3. Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
  4. Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

  1. Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
  2. Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
  3. Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
  4. Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
periodes01211 + EAR = ?21% / 2

Een creditcard rekent een nominale rente van 21 % per jaar, halfjaarlijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.

r = 21%m = 2
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
maanden0123…240€200 000AAAA3% / 12, I = ?

Een lening van €200 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?

P = €200 0003% / 12N = 240
I = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
halve jaren0123…10€10€10€10 + €1 000P = ?

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 3,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 3,5%n = 5
P = €
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
halve jaren0123456€892€10€10€10 + €1 000

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Ze wordt verkocht voor €892. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.

F = €1 000coupon = 2% (2×)n = 3P = €892
YTM = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
WACC = ?eigen vermogen€6 000 000re​ = 9%schuld€5 000 000rd​ = 7%T = 21%

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.

E = €6 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 7%T = 21%
WACC = %
6.CAPM en WACCMoeilijk
rf​ = 3,5%, rm​ − rf​ = 7%geen schuldeigen vermogenβU​ = 0,6D/E = 1,5eigen vermogenre​ = ?schuldT = 25%

De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 0,6. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 1,5 aan te houden. Het belastingtarief is 25%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.

βU = 0,6D/E = 1,5T = 25%rf = 3,5%rm − rf = 7%
re = %
7.NCW & IRRGemiddeld
jaar01234−60 00016 00030 00020 00017 000

Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €16 000, €30 000, €20 000, €17 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 9%CF0 = −60 000CF1 = 16 000CF2 = 30 000CF3 = 20 000CF4 = 17 000
NPV = €
8.NCW & IRRMoeilijk
jaar0123−50 00021 50031 00030 500

Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €21 500, €31 000, €30 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF0 = −50 000CF1 = 21 500CF2 = 31 000CF3 = 30 500
IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: EAR = 22,1 %

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente per periode

r/m = 0,21/2 = 0,105

Samenstellen over één jaar

EAR = (1 + 0,105)2 − 1 = 1,221 − 1 = 22,1%

Antwoord

EAR = 22,1%

De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: I = 66207 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Maandbedrag

i = 0,0025, N = 240
A = 200 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−240) = €1 109,20

Totale rente

I = N·A − P = 240·1109 − 200 000 = €66 206,85

Antwoord

I = €66 206,85
3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 931,7 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €10,00, i = 0,0175, N = 10

Contante waarde van de coupons

€10,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €91,01

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,8407 = €840,73

Koers

P = €931,74

Antwoord

P = €931,74

Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTM = 5,986 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €10,00, N = 6

Los numeriek op

i = 2,993% per halfjaar

YTM

YTM = 2·2,993% = 5,986%

Antwoord

YTM = 5,986%
5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 7,423 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545

WACC

WACC = 0,5455·9% + 0,4545·7%·(1 − 0,21) = 7,423%

Antwoord

WACC = 7,423%
6.CAPM en WACC

Antwoord: re = 12,42 %

Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).

Bèta met hefboom

βL = 0,6·(1 + 0,75·1,5) = 1,275

Kosten eigen vermogen (CAPM)

re = 3,5% + 1,275·7% = 12,42%

Antwoord

re = 12,42%
7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = 7416 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van elke kasstroom

CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 16 000/1,09 = 14 678,90
CF2/(1 + 0,09)2 = 30 000/1,188 = 25 250,40
CF3/(1 + 0,09)3 = 20 000/1,295 = 15 443,67
CF4/(1 + 0,09)4 = 17 000/1,412 = 12 043,23

Optellen

NPV = €7 416,20

Antwoord

NPV = €7 416,20

De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 28,34 %

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(25%) = 2 656,00
NPV(30%) = −1 235,78

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 25 + 5·2 656,00/(2 656,00 − (−1 235,78)) = 28,41%
exact: NPV(28,34%) = 0 → IRR = 28,34%

Antwoord

IRR = 28,34%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation