Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 9 jaar.

PV = €2 0003,6% / 4n = 9

FV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een lening van €30 000 wordt in 7 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?

P = €30 0007,2% / 12N = 84

I = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% en loopt over 15 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 4% naar 5,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?

F = €1 000coupon = 5%n = 15y₁ = 4%y₂ = 5,5%

ΔP = €

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €940. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.

F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €940

YTM = %

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een aandeel met een bèta van 1,6 heeft een vereist rendement van 13,4%. De risicovrije rente is 3%. Welk verwacht marktrendement r_m volgt uit CAPM?

β = 1,6r_e = 13,4%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €8,00 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 1,3, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 9,5%. Bereken de WACC.

β = 1,3r_f = 2,5%r_m = 9,5%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €29 000, €23 000, €34 000, €29 000. De vermogenskosten zijn 15 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 29 000CF₂ = 23 000CF₃ = 34 000CF₄ = 29 000

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Een investering van €40 000 levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €11 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

C₀ = €40 000CF = €11 000n = 4

IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 2761 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·9 = 36

Eindwaarde

FV = 2 000·(1 + 0,009)³⁶ = 2 000·1,381 = €2 761,29

Antwoord

FV = €2 761,29

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: I = 8280 €

Maandbedrag

i = 0,006, N = 84

A = 30 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻⁸⁴) = €455,72

Totale rente

I = N·A − P = 84·455,7 − 30 000 = €8 280,40

Antwoord

I = €8 280,40

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: ΔP = −161,4 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Koers bij het oude rendement

C = €50,00, i = 0,04, N = 15

€50,00·(1 − 0,5553)/0,04 + €1 000·0,5553 = €555,92 + €555,26 = €1 111,18

Koers bij het nieuwe rendement

C = €50,00, i = 0,055, N = 15

€50,00·(1 − 0,4479)/0,055 + €1 000·0,4479 = €501,88 + €447,93 = €949,81

Verandering

ΔP = 949,81 − 1 111,18 = −€161,37

Antwoord

ΔP = −€161,37

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTM = 5,038 %

Vergelijking voor het rendement

€940 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Los numeriek op

P(5%) = €942,14, P(6%) = €888,35

YTM = 5,038%

Antwoord

YTM = 5,038%

5.CAPM en WACC

Antwoord: r_m = 9,5 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Marktrisicopremie

r_m − r_f = (13,4% − 3%)/1,6 = 6,5%

Marktrendement

r_m = 3% + 6,5% = 9,5%

Antwoord

r_m = 9,5%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 8,639 %

Marktwaarden

E = 2 500 000·€8,00 = €20 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,3·7% = 11,6%

Gewichten

V = €29 800 000, E/V = 0,6711, D/V = 0,3289

WACC

WACC = 0,6711·11,6% + 0,3289·3,5%·(1 − 0,258) = 8,639%

Antwoord

WACC = 8,639%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = 6545 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van elke kasstroom

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 29 000/1,15 = 25 217,39

CF₂/(1 + 0,15)² = 23 000/1,322 = 17 391,30

CF₃/(1 + 0,15)³ = 34 000/1,521 = 22 355,55

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 29 000/1,749 = 16 580,84

Optellen

NPV = €6 545,09

Antwoord

NPV = €6 545,09

De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 3,924 %

Benodigde annuïteitsfactor

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 40 000/11 000 = 3,636

Los de rente op

De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.

i = 3%: 3,717

i = 4%: 3,63

IRR = 3,924%

Antwoord

IRR = 3,924%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation